실의 장력 구하기 - sil-ui janglyeog guhagi

이번 이야기는 '장력' 에 대해서 알아보도록 합니다. 장력(張力) 은 말 그대로, 줄이 잡아당기는 힘이 되겠습니다.ㅎㅎ  처음에 이 장력이라는 개념을 접했을 때, 음... 들어본적이 없는 단어를 접해서 좀 어려워 했었는데, 재미있게 이야기 해 보도록 합시다.

줄이 있고, 그 줄에 의해 물체가 걸려 있는 상황은 쉽게 생각해 볼 수 있습니다.  위와 같이 충분히 높은 곳에 두 물체가 실에 의해 걸려 있는 경우를 생각해 봅시다. 이 때 실은 질량을 무시할 수 있을 정도로 가볍다고 가정해 봅시다.

맨 왼쪽에 있는 걸 분석해보면, 원래 지구에 물체가 붕 떠 있을수가 없습니다. 떨어져야 되죠. 그러나 떨어지지 않고 가만히 정지할 수 있는 이유는 바로 그 중력을 지우는 무언가가 작용하기 때문입니다.

그 힘이 바로 줄이 물체를 당기는 힘입니다. 줄이 물체를 당기는 힘과 지구가 물체를 당기는 힘의 합력이 0 이 되어서, 정지하게 되고, 그 때의 운동방정식은

이 됩니다. 이해할 수 있겠죠?

두 번째의 경우는, 실이 양쪽에서 작용하는 경우인데, 이 경우에도 물론 중력이 작용하고 있는데, 멈춰있다는 걸로 봐서는 중력과 장력이 평형을 이룸으로서, 정지한다는 것을 알 수 있습니다. 그런데, 여기서는 실의 장력이 두 개의 실에 분배되어져서 작용을 할겁니다. 따라서 두 줄이 물체를 당기는 힘은 다음과 같습니다. (대상이 '줄' 이 '물체'에 작용하는 거니까 작용점은 역시 물체에 찍혀야 합니다. 헷갈리지 마세요) 그 때 작용하는 힘을 T₁, T₂ 라고 합시다.

결국에는 이것도, T1, T2 와 mg란 힘이 서로 평형을 이뤄서 멈추게 되는건데, 이것을 더 명확하게 해석하는 방법은 힘을 수평성분과 수직성분으로 분해 하는겁니다.

힘의 분해에 대해서는 이미 http://blog.naver.com/at3650/40097172438 ( 힘[3] - 힘의 분해 , 운동 제3법칙, 수직항력 ) 에서 이미 이야기를 했었습니다. 앞에서 잠깐 이야기했는데 두 줄이 이루는 각도를 이렇게 θ₁과 θ₂로 놓아두었죠. 이 때 줄이 물체를 잡아당기는 벡터와 실의 방향이 평행하기 때문에 장력성분에 대해서 다음과 같이 힘의 분해가 가능합니다.

T₁ 부터 보자면, 이렇게 되고

 T₂성분은 이렇게 되죠!

 여기서 수직성분과 수평성분의 힘들의 각각의 합력이 0이 될 때여야만 물체는 정지할 꺼니까, (뉴턴의 운동 법칙) 수직성분과 수평성분에 대한 분석을 할 수 있습니다.

이번에는 줄이 아니라, 수직성분.수평성분 이렇게 따로 분석을 합니다. 수직성분은 T1, T2의 Sin성분과 중력이 합력을 이뤄 멈춰있게 되고, 수평성분은 줄의 cos성분이 평형이 되어서 멈춰 있습니다.

이렇게 해서 힘의 평형을 이루는 운동방정식을 작성하였습니다.

지난번에 도르래에 대한 논의는 했었습니다. (http://blog.naver.com/at3650/40203516341) 일단, 지금 논의하는 곳에서는 힘의 방향을 바꿔주는 고정도르래의 역할이 좀 비중이 큽니다. 고정 도르래하면, 저를 상당히 당혹케 한 문제가 있었는데, 그걸 해결해보는 순서를 가져봅시다. 이제 운동방정식을 제법 많이 소개했으니, 잘 할 수 있을 거라고 생각합니다.^^

 그림 (A)에서는 벽에 고정된 용수철 저울에 무게가 10N인 추 1개가 매달려 있고, 그림 (B)에서는 용수철 저울에 무게가 20N인 추 2개가 양쪽에 매달려 있다. (A)와 (B)에서 용수철 저울의 눈금을 N₁, N₂라고 할 때, 이들의 비 N₁: N₂의 비는 얼마인가? (단, 도르래와 줄 사이의 마찰은 무시하며, 실의 질량은 무시할 수 있을 만큼 가볍다고 한다.)

사실상, 이 문제는 도르래가 주연이 되는 문제는 아닙니다. 그러나 도르래가 분명 있으니 도르래 문제는 분명히 맞습니다. 제목에 맞춰 보통 도르래에 줄을 끼워 줄을 윤택하게 돌아가게 하는데, 역할을 합니다. 도르래에도 당연히 실과 접촉하니까 마찰이 생길거지만, 그걸 고려하면 수준이 안드로메다급이 되기 때문에, 무시하기로 하고 실의 질량도 거의 없다고 가정합시다. 순수하게 주요한 물체에 대해서만 힘의 작용 요소를 고려하자는 겁니다.

그런데, 많은 사람들이(학생들이) 이 문제를 풀 때, 운동법칙에 대한 개념 요소가 전혀 없이 접근하면, (A) 는 10N만큼 중력이 작용하고 있으니까, 용수철 눈금은 10N이고

(B) 는 중력이 20N씩 2개가 40N이나 당기는 힘을 막으니까 40N을 가리킬 거라고 해서 1:4 라고 많이 씁니다.

음... 마치 이건 왼쪽 그림과 같습니다. 쉽게 말해 당신은 만만한 줄 알고 우쭐대다가 그 만만한 상대한테

피까지 보였습니다. 에구구구....

                        ▲ 퍽! 직감이 틀렸소. 당신

 연마를 했으면, 연마한 걸 잘 써야 겠죠... 직감만 믿지 말구요. 심하게 다쳤으면 연고랑 밴드 잘 붙여주고.. 마음을 가다듬고 논리적으로 이 문제에 접근해 봅시다.ㅎㅎ

(A)는 그래도 직감으로 잘 잘 접근했다고 생각을 합니다. 10N 의 힘이 작용하니까, 평형을 이루는 것이니까 10N으로 멈춰 있는거죠. 그러나 여기서, 직감으로 접근하지 말고 운동방정식으로 치밀하게 접근해봅시다.

근데 멈춰있죠? 여기서 멈춰 있는 동력원을 잘 찾아야 합니다. 일단 용수철 저울이 올라가 있으니까 용수철 저울에 작용하는 힘을 찾아보는데, 여기서 중요한 건 용수철은 움직이지 않는다는 걸 알아야 합니다. 늘어나는 거랑 가속되는 거랑 다르죠. 자기만의 깡다구(?)로 버티고 있는겁니다. 지구가 추를 당기지만, 그래서 용수철은 가속되어야 함이 맞는데, 벽에 매달려 있기 때문에.. 즉 벽과 용수철 사이의 관계... 벽이 용수철을 당겨주고 있기 때문에 멈춰 있습니다.

어? 그런데 대상이 다르잖아요...? 뜬금없이 벽....?? 용수철이 추를 당겨야 하지 않나요? 지구가 추를 당기니까 용수철이 추를 당겨야 하지 않나요? 그래야 평형을 이룰텐데... 음, 주장을 확실히 하기 위해 다음과 같은 상황을 생각해봅시다. 추가 10N의 힘을 가한 건 중력 때문에 그런건데, 내가 10N의 힘을 물체에 가해보는 겁니다. 그리고 그 때 평형을 이루는 상황을 봅시다. 위의 상황이나 아래 상황이나 힘을 주는 인자만 바뀌었을 뿐 똑같은 겁니다.

 다시 말하지만, 용수철의 관점을 해석해야 합니다. 용수철의 길이가 늘어난 건 분명 가속된 건 아닙니다. 10N의 힘을 일정히 주고 있다면, 늘어난 채로 정지해 있는 것일 뿐 가속되진 않죠.(이걸 이해하는게 중요해요) (그리하여 용수철 저울의 눈금을 읽을 수 있는거고) 힘을 주면 가속도의 법칙에 의해 가속을 해야 합니다. 근데, 가속을 하지 않는다는 건 내가 가해준 힘이 만만하다는 거죠. 흥 난, 그정도로 힘으로 난 끄떡하지 않아! 라고 여러분에게 쫄지 않고 당당히 말하잖아요!!!!!! 당신을 쫄게 만들 수 있는 빽이 벽에 있단 겁니다. 벽에 용수철이 걸려있잖아요. 없으면 질질질 끌려다니겠죠..

중요한 건 줄에 나의 외력. 용수철 저울. 벽이 모두 걸려 있기 때문에, 모두 이러한 상호 작용이 발생하는 겁니다. 물체 대 물체 간에 서로 힘이 전달되도록 해주죠.

따라서 위에서 벽이 용수철을 당기고, 지구가 추를 당긴다 할 때 목적어가 같지 않더라도, 약간 유식한 말로 하나의 계(System)로 엮여졌기 때문에 이러한 방정식을 작성해 줄 수 있는겁니다.

다시, 외력이 아니라 추가 힘을 주는 상태로 돌아가 봐도, 이제 이해할 수 있겠죠?

계(System)에 대해서 좀 더 구체적으로 말해보자면, 본다는 건 지금 물체에 작용하고 있는 추. 용수철 저울. 벽을 모두 한 세트로 본다는 이야기입니다. 사람의 얼굴. 팔. 다리도 원래 분자분자 요소로 되어 있어 각각의 힘을 따로 받을테지만, 그들은 모두 나를 이루고 있는 것들로 연결되어 있는 걱 때문에, 하나의 계로 본다는 건 그런 뭉퉁그리를 합쳐서 모두 '나'에게 작용하는 힘으로 본다는 것과 같은이치입니다.

다시 말해, "무슨 힘이 나의 팔을 당긴다"이 "어떤 힘이 나의 다리를 당긴다". 힘이 작용했다 하면, 분명 목적어가 다르지만 전체적으로 보면 "나" 에게 힘을 가하는 겁니다.

나의 팔과 다리는 나를 구성하고 있는 거기 때문에...  여기서도, 벽.용수철저울.추 이걸 모두 하나의 조합으로 이루고 보면 되는 겁니다.

그래서 목적어가 달라도, 즉 찍는 작용점이 달라도 문제될 게 없다는 겁니다. 허나 만일 실이 끊어진다고 한다면, 그건 더 이상 계가 아닙니다. 만일 벽과 용수철 저울 사이의 실을 끊으면 용수철은 추와 같이 가속운동을 할 겁니다. 즉, 이 사실은 여실히 벽과 용수철과의 상호 작용관계를 보여주고 있고 벽이 용수철을 당기고 있다는 결정적인 근거가 될 수 있겠습니다. 또한, 잔인하지만, 내 몸의 팔과 다리가 분리된다고 하면, 팔과 다리가 따로 움직일 겁니다.... 으시시시 하죠;; 왜냐면 계가 아니니까요...

 하지만, 여기서 끝을 맺으면, 문제도 더 이상 안풀립니다. 뭘 이야기하고 싶냐면 힘을 하나 찾았으니, (벽이 용수철을 당기는...)  다시 말해 반작용이 있다는것도 찾아야죠...... 본능적으로! 벽이 용수철을 당기니, 용수철도 벽을 당길겁니다.

 자, 하나더 가면 용수철이 벽을 당긴다... 근데 왜 벽은 안움직이죠? 상식적으로 생각해봐도 벽은 질량이 무지 클겁니다. 수직항력이 크다는 거죠. 용수철이 벽을 당겨도 벽은 그 외력을 지울만한 진짜 충분한 마찰력을 가지고 있기에, 벽은 움직이지 않습니다. 만약에 이 벽위에 미끄러운 얼음이 있고, 질량이 충분히 가볍다면, 이 실험세트마저도 질질 끌려갈 겁니다.

 여하튼, 그럼 용수철이 벽을 당기는 힘은 10N 이 됩니다. 벽이 용수철을 10N으로 당겨야 지구가 당기는 10N을 배겨낼 수 있겠죠. 평형을 이룬단 뜻입니다.

자, 이제 아이디어를 잘 알았으니... (B)의 상황에 그대로 적용해보는 겁니다. 그런데, (B)의 상황은 (A)의 상황과 완벽히 똑같습니다. 이걸 잘 해야 합니다. 아까 직감으로 용수철 저울에 40N이 작용한다는게 옳지 않은 생각이라는 걸 잘 확인해보시기 바랍니다.

 그러니, 당근 B에 작용하는 용수철의 눈금은 20N을 지우는 외력인 20N을 가리켜야 되겠고 뭐 할 거 없이 정답은 1 : 2 가 되겠죠. 논의 끝

물리에서 가장 기본이 되는 요소는, 문제를 푸는게 아니라 한 문제를 풀더라도 내가 배운 개념을 문제에 제대로 적용하는 것이 중요하다는 걸 강조하면서 마치겠습니다.