2계 비제차 미분방정식 - 2gye bijecha mibunbangjeongsig

안녕하세요~ 오늘은 비제차 상미분방정식(non-homogeneous)의 풀이법에 대해 알아보겠습니다. 이것이 진짜 진짜 중요하고 또 어렵기 때문에 잘 따라와주세요!! 시작하겠습니다~

비제차 상미분방정식

앞선 글에서 2계 상미분 방정식의 기본 형태는 y''+p(x)y'+q(x)y=r(x)라고 했습니다. 이때 r(x)가 0인 제차방정식을 살펴봤었고, 이번에는 r(x)≠0인 비제차 방정식의 경우를 살펴보겠습니다. 비제차 ODE의 일반해는 y=yh+yp입니다. 여기서 yh는 homogeneous일때의 해를, yp는 non-homogeneous일때의 해를 의미합니다. 즉, 2번에 걸쳐 해를 구해야 된다는 것이죠. 

i)  y''+p(x)y'+q(x)y=r(x) (r(x)≠0인 경우)의 방정식이 주어졌다고 하겠습니다. 먼저 r(x)=0인 homogeneous 상태를 가정하여 해를 구해줍니다. 이 해를 yh로 표현해줍니다.

ii) 이제 r(x)의 형태에 맞게 비제차의 해를 구해줍니다. 이 해를 yp로 표현해줍니다.

iii) i)과 ii)에서 구한 yh, yp를 더해 최종 일반해 y=yh+yp를 답으로 써줍니다.

비제차 상미분방정식의 풀이는 크게 2가지로 구분됩니다. 먼저 미정계수법을 살펴보고, 다음으로 매개변수 변환법을 알아보겠습니다. 

D. 미정계수법

그림에도 써놨지만, 미정계수법은 한마디로 그냥 '때려 맞추기' 입니다. 잘 찍는 사람이 유리한 방법이죠. 조금 돌려 말하면, 우리에게 익숙한 몇가지 형태의 r(x)가 있습니다. 그것이 만약 등장하게 되면, 이미 구해놓은 yp를 선택해서 계산하면 된다는 것입니다. 예를 들어 위의 표에서 r(x)=kx^n이라면, yp는 yp=kn*x^n + kn-1*x^(n-1) + ......+ k1*x + k0를 써주면 됩니다. 즉, r(x)=x³이면, yp=ax²+bx+c가 됩니다. 이렇게 구한 yp를 미분해서 yp', yp''를 구해주고, 주어진 ODE에 넣어 양변을 비교해 a, b, c를 구해주면 됩니다. 쉽죠? 마찬가지로 표에 나와있는 경우들을 외워주고, 그에 맞는 yp를 선택하면 됩니다. 

방금 설명한 내용이 기본 규칙(basic rule)에 해당합니다. 이제 합 규칙(sum rule)을 알아보겠습니다. 합 규칙은 말 그대로 r(x)가 여러 함수의 합으로 표현되며, 그것들이 표에 나와있는 함수일 때, yp 역시 각각에 해당하는 것의 합으로 계산해줍니다. 예를 들어 r(x) = 4sinx+exp(2x)라고 하면, yp=Mcosx+Nsinx+C*exp(2x)가 됩니다.

이제 변형 규칙(modification rule)이 남아있습니다. 이게 학생들이 조금 어려워하는 부분입니다. 앞서 배운 내용을 바탕으로 r(x)를 보니, 표에 나와있는 것 중 하나였다고 가정하겠습니다. 예를들어, r(x)=2exp(x)로 말이죠. 그리고 비제차 해를 구하기 전, 제차해를 구해보니, yh=a*exp(x)+b*exp(-x)가 나왔다고 하겠습니다. 우리는 r(x)로부터 yh=C*exp(x)로 세울 수 있습니다. 그러나, yp와 yh를 자세히 보면, exp(x)라는 항이 겹치게 됩니다. 이렇게 yp와 yh가 겹치는 항이 생길 경우, 변형 규칙을 사용해야 됩니다. 즉, yp가 yh와 겹치지 않을 때까지 yp에 x를 곱해줍니다. 위 예시에서는 x를 한번만 곱해도 yh=C*x*exp(x)가 되어 yh와 겹치는 항이 사라지게 됩니다. 따러서 이대로 놓고 풀어주시면 됩니다. 

다른 예시를 들어보겠습니다. r(x)=exp(2x)이고, yh를 구해보니 특성방정식의 해가 중근이 나와서 yh=(ax+b)*exp(2x)가 나왔다고 하겠습니다. r(x)로부터 초기에 yp=C*exp(2x)로 설정해줬지만, yh와 yp가 겹치는 부분이 발생했습니다. 따라서 변형 규칙을 사용하여 yp에 x를 한번 곱해줍니다. 이제 yp=C*x*exp(2x)가 됐습니다. 그러나 아직도 yh와 x*exp(2x)부분이 겹칩니다. 따라서 x를 한번 더 곱해줍니다. 최종적으로 yp=C*x²*exp(2x)가 되어 겹치는 부분이 하나도 없게 되고, 이 상태로 풀어주시면 됩니다. 제가 설명한 내용을 천천히 보면서 꼭 이해하고 넘어가셨으면 좋겠습니다. 아니면 나중에 문제풀 때 많이 힘들거에요 ㅠㅠ

변형 규칙 심화

방금까지 한 내용의 가정은 상수 계수를 갖는 ODE에 적용한 것이었습니다. 만약 식이 Euler-Cauchy의 형태로 나오면 지금까지 한 내용을 쓸 수 없게 되는건가요? 아닙니다. 저번 글에서 제가 Euler-Cauchy는 그저 상수 계수를 갖는 ODE의 변형된 형태라고 말씀 드렸던 것을 기억하실 겁니다. 즉, 비슷한 mechanism을 적용할 수 있습니다!

예를 들어 x²y''+3xy'-8y=x⁴+x²의 Euler-Cauchy 방정식을 풀어보겠습니다.

i) 먼저, yh를 구해줍니다. 보조 방정식을 이용해 구해보면 중근이 나와서 yh=(a+b*lnx)*x²이 됩니다.

ii) r(x)=x⁴+x²을 보니, x²의 항이 yh와 겹치게 됩니다. 이때는 x 대신에 lnx를 yh와 겹치치 않을 때까지 곱해주시면 됩니다. 그저 곱해주는 항이 바뀌었을 뿐입니다. 따라서 x²은 x²*lnx로 써줄 수 있습니다.

iii) r(x)=x⁴+x²에서 x⁴항은 r(x)와 겹치는 부분이 없습니다. 따라서 그냥 x⁴으로 써주게 됩니다. 주의할 점은, 이것을 미정계수 표에 나와있는 것을 적용하려고 ax³+bx²+cx+d로 바꿔주시면 안된다는 것입니다! 위 표는 상수 계수 ODE에 해당하는 것이라는 것을 명심해주세요! Euler-Cauchy 방정식에서는 겹치지 않는 항은 그냥 상수를 붙인 채 그대로 써주시면 됩니다.

iv) 결론적으로, 우리가 사용할 yp=K*x⁴+M*x²*lnx (K와 M은 상수)입니다. 

E. 매개 변수 변환법

미정계수법을 이해하느라 모두 고생하셨습니다. 그러나 아직 무시무시한게 하나 남아있습니다 ㅠㅠ 이것만 하면 마무리니 조금만 힘내주세요! 미정계수법은 우리가 알고 있는 r(x)에 해당하는 yp를 사용하는 아주 편리한 방법이었습니다. 그러나 세상에는 함수가 저것만 있는게 아니죠. 표에 없는 함수들이 수두록 합니다. 잠깐 생각만 해봐도, secx, cotx, 1/x, arcsinx등등 무수히 많은 함수들이 표에 해당하지 않습니다. 이런 경우에는 매개 변수 변환법을 사용하게 됩니다. 식은 그림에 노란색으로 하이라이트 쳐진 부분과 같습니다. 여기서 W는 Wronskian의 약자로, 계산하는 방법은 바로 옆의 행렬로 표현되어 있습니다. 이때 y1과 y2는 제차해 yh의 기저입니다!

매개 변수 변환법은 어떤 r(x)에 어떤 함수가 와도 풀어낼 수 있다는 장점이 있습니다. 다만 계산량이 훨~~씬 복잡해집니다. 미정계수법으로 풀 수 있는 문제를 매개변수 변환법으로 한번 풀어보면 무슨 말인지 이해가 되실겁니다. 그래서인지 시험 문제도 답이 진짜 더럽게 나옵니다. 때문에 문제를 충분히 익혀 답에 대해 두려워하지 않는 대비가 필요합니다. 저는 보통 기출을 한 8번정도 풀고 가요. 그정도 풀다 보면 유형도 보이고 계산을 두려워하지 않게 됩니다.

그림에도 써놨지만, Euler-Cauchy 방정식에서 매개변수 변환법을 사용할 때, y''의 계수가 1이 되도록 양변을 x²으로 나눠준 다음, r(x)를 사용해야 됩니다!! 저도 이걸 제일 많이 실수했을 만큼 방심하면 훅 가는 point이니 주의해야 됩니다. 

이번 포스팅은 여기까지 해야겠네요 ㅠㅠㅠㅠ 어쩔 수 없이 문제 풀이는 다음 글에다 작성하도록 하겠습니다. 아마 문제 풀 때는 제가 말했던 풀이 순서가 기억나지 않을 것 같은데, 창을 2개 띄워놓고 봐주셨으면 좋겠습니다. 감사합니다~

ps) 부족하지만, 제가 푼 기출들의 풀이가 보고싶으신 분들은 [공업수학 : 프롤로그] 글에 좋아요와 이메일 주소를 남겨주시면 보내드리겠습니다! 위한에 올라와 있는 기출이 아닌, 최신 기출(20년도 교수님 별로, 21년도)을 많이 가지고 있기 때문에 유용할거라 생각됩니다 ㅎㅎㅎ. 링크를 걸어드릴테니 참고해주세요!

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