라플라스방정식 변수분리 - lapeullaseubangjeongsig byeonsubunli

Mathematics/Ordinary Differential Equation

2010. 3. 31. 23:39

변수분리법

위의 식과 같은 형태로 이루어진 미분방정식은 '변수 분리법'이 가능하다.
일반적인 해법은 다음과 같다.

1. 의 일반해를 구하라.

Sol.
먼저 양변을 y에 관한 함수로 나눈다.

양변을 적분하면,

양변을 지수함수꼴로 고치면,

이것을 일반화하여 쓰면,
 가 된다.

따라서 일반해는,
 가 된다.

2. 의 일반해를 구하라.

Sol.

적분을 하면,

y에 관해 쓰면,

주의 해야할 것이 있는데, 는 해가 아니다.

 의 형태는 다음과 같이 푼다.

먼저, 로 치환을 한다. 이렇게 치환했을 때 y'은,

 가 되는데, 우변을 곱의 미분법을 한 이유는 u는 x에 관한 함수이기 때문이다.
치환한 것을 준식에 대입하면,

따라서 u와 x에 관한 함수로 바뀌게 되어 변수분리를 할 수 있게 된다. 변수분리를 하면,

위의 식을 적분하여 풀면 된다.

ex)
의 일반해를 구하여라.

  먼저 약분을 하면,
 이 되는데,  로 치환하자.

그래서 준식에 대입을 하면,  가 되는데, 이것을 변수분리하면 된다.

u에 대해 정리하면,

그리고 원래의 y로 바꾸어주면 답이 된다.

의 형태도 역시 치환을 통해 변수분리가 가능해진다.

u를 다음과 같이 치환하면 된다.
 이것을 준식에 대입하면, 변수분리가 가능하게 바뀐다.