자연상수 \(e\)는 숫자만 놓고 보기엔 매우 부자연스러워 보이지만 어떤 이유에서 필요했기에 저런 상수를 도입했을까? 마치, 파이(π)도 숫자로만 생각하면 3.14159 265359 … 와 같이 아무런 의미 없어보이는 값이지만 사실은 원의 둘레, 넓이 등을 계산하는데 도움을 주는 값인것처럼 자연 상수 \(e\) 역시 어떤 의미가 있을 것이다. 2. 자연상수 \(e\)의 의의자연상수 \(e\) 자연의 연속 성장을 표현하기 위해 고안된 상수라고 할 수 있다. 조금 더 구체적으로는 100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때 얻게되는 성장량을 의미한다. 위 문장에서 bold처리를 한 두 가지 단어가 핵심이라고 할 수 있다.
100% 성장률로 1회 연속 성장한다는 것의 의미 마법의 저금통이 있다고 상상해보자. 이 저금통은 1원을 넣으면 정확히 1년 뒤에 1원이 더 늘어나(즉, 100% 성장률) 2원이 된다고 하자. 이것을 1회 성장한 것이라고 상정할 수 있다. 이것을 그림으로 표현하면 다음과 같다.  그림 1. 1년 뒤 100% 성장하는 마법의 저금통
그런데, 여기서 만약 6개월마다 50%씩 성장한다고 세팅을 변경하면 어떻게 될까? 1원은 6개월 뒤에 0.5원이 붙고… 그 0.5원도 또 … 말로 설명하면 복잡하니 그림으로 표현하면 아래의 그림 2와 같다. 그림 2. 6개월에 50%씩 성장하는 마법의 저금통
여기서, 핵심적인 포인트는 그림 2처럼 6개월 단위로 50%씩 성장시키면 1년 뒤에는 2원이 아니라 2.25원이 된다는 점이다. 즉, 그림 1에서 처럼 한번에 100% 성장 시키는 것 보다 0.25원이나 더 늘었다. 그러면, 3번에 나눠서 성장시킨다면 어떻게 될지 확인해보자. 그림 3. 4개월에 33.33%씩 성장하는 마법의 저금통
역시나 6개월에 50% 성장하는 것 보다 4개월에 33.33% 성장하는게 더 성장량이 크다. 그렇다면, 자연스럽게 이런 의문이 들 것이다. “무한히 많이 쪼개면 어떻게 될까? 성장량도 무한하게 커질까?” 이 의문을 해소하기 위해서는 위의 그림 1, 2, 3의 내용을 수식으로 만들어볼 필요가 있다.
그림 1의 내용을 수식으로 만들면 다음과 같다. \(1+1 = 2\) (3)
그림 2의 내용을 수식으로 만들면 다음과 같다. \((1+0.5)\times (1+0.5)\) (4)
2가 식 (2)와 같이 쓸 수 있는 이유를 설명하면 다음과 같다. 식 (2)를 풀어쓰면 다음과 같은데,
식 \((2) = 1\times(1+0.5) + 0.5\times(1+0.5)\) (5)
즉, 그림 2에서 볼 수 있는 원래의 1원이 1.5원이 되는 과정이 우변의 첫번째 항, 6개월 뒤에 얻어진 0.5원이 0.75원이 되는 과정이 우변의 두 번째 항에서 표현된 것이다. 같은 원리로 그림 3을 수식으로 만들면 다음과 같다.
\((1+\frac{1}{3})^3\) (6)
같은 원리를 이용하여 100% 성장을 \(n\)번으로 나눠서 성장시키면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.
\((1+\frac{1}{n})^n\) (7)
그러면, 무한히 쪼갠다면 아래와 같은 수식으로 그 성장량을 생각할 수 있게 된다.
\(\lim_{n\rightarrow \infty}(1+\frac{1}{n})^n\) (8)
잘 알고있듯이 식 (6)이 자연상수 \(e\) 로 정의되는 숫자이며, 그 값은 2.718 가량이다. 여기서 무한히 쪼개서 성장시킨다는 개념을 앞서 언급한 ‘연속 성장’과 맞춰서 생각할 수 있다.
# 해당 그래프를 x=1 값에서 미분하거나 적분을 하면 그 값이 모두 2.718...이 된다 3. 성장 횟수와 성장률에 관하여앞서 자연상수 \(e\) 는 100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때 얻게되는 성장량을 의미한다고 얘기했다.
또, 100% 성장률로 1회 연속 성장할 때 \(e\) 만큼 성장량을 갖게 된다는 것을 알수 있었다.
그렇다면, 만약 50% 성장률을 가지고 1회 연속성장한다면 그 값은 어떻게 될까? 수식으로 적으면 다음과 같을 것이다.
\(\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{50\%}{n}\right)^n\) (9)
\(=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^n\) (10)
\(=\lim_{n\rightarrow \infty}\left(1+\frac{1}{2n}\right)^{2n/2}\) (11)
\(=e^{1/2}\) (12)
또, 100% 성장률로 2회 연속 성장한다면 그 성장량은
\(e\times e = e^2\) (13)
일 것이다. 다시 말해, \(e^x\) 라는 식에서 지수 \(x\) 가 갖는 의미는
\(e^{\text{성쟝횟수 x 성장률}}\) (14) 인 것이다. 4. 자연 로그의 의미에 대해서앞서 \(e^x\) 라는 식에서 지수 x 가 갖는 의미가 성장횟수와 성장률을 곱한 것과 관련이 되어 있다고 언급했다. 이를 수학적으로 표현하면 자연로그의 의미 중 하나를 쉽게 유추할 수 있다. 검색결과 리스트글 고등 미적분 파트에서 접하게 되는 중요한 수학적인 상수! 지수 함수 혹은 로그 함수의 미적분 과정에서 대표적으로 자주 거론되는, 여러모로 핵심적인 부분을 맡고 있는 자연 상수를 한 번 파헤쳐봅시닷!ㄱㄱ 먼저 정의를 툭 던져드려보자면.. 차차 설명드리겠습니다 (찡긋) 자연 상수의 계산 우선 자연 상수는 '복리' 의 계산에서 언급되어지기 시작했습니다. 복리는 일종의 이자 계산법입니다. 예를 들어보죠! A가 은행에 예금을 넣고 1년 뒤 원금의 100%를 이자로 받기로 해봅시다!(헐 개쩐다) 1만원을 넣었다고 했을 때, 1년 뒤에는 총 금액이 다음과 같아집니다. 원금 1만원에다가, 원금×이자율 즉 이자가 1만원×100%=1만원! 이제 원금에 이자까지 더하면 1년 뒤의 총 금액을 계산할 수 있겠네요! 자,여기서 우리 한 번 은행에 이벤트를 진행해봅시닷 (..?) 12개월 뒤에 100%가 딱 생기는 거에서 6개월 뒤에 50%,6개월 뒤에 50%로 두 번에 걸쳐서 받을 수 있게 규칙을 바꿨습니다! 이 규칙을 적용했을 때의 계산식도 어렵지 않게 아래처럼 구해집니다. 원금 1과 이자 1×50%=0.5의 합인 1.5로 계산될 수 있는 것 이해되시지요? 이 1.5가 또 다시 50% 증가해주면 되는 것이기 때문에, 1+50%=총 150%를 다시 곱해 다음과 같은 식이 만들어지게 됩니다. 좀 다르게 표현해본다면 아래와 같겠네요. 자 머리가 좋은 여러분들은 3번째로 뭘 해야할지 감이 오실 거에요. 1번째에는 100%를 한 번에 1만큼, 2번째에는 100%를 두 번에 1/2만큼씩, 즉 3번째에는 100%를 세 번에 1/3만큼씩 이겠지요? 그렇게 되면 당연스레 3번째에는 아래와 같은 계산식을 얻을 수 있어요. (저기 물결이 넘실거리는 등호는 양변의 값이 비슷하다는 뜻의 기호에요.) 4번째 한 번에 그냥 가봅니다앗! 제가 좀 계산해드릴게욧 5번째, 어엇..뭐지? 점점 어느 숫자에 수렴하고 있는 것으로 보이죠? 이제 무한 번만큼 죤내 많이 곱하자! n번째로 바꿔버린 다음 n을 무한으로 보낸다고 해주면, 바로 우리가 원하고 있는 자연 상수 e가 계산되는 것입니다앗! 이제 자연 상수를 계산해보았으니, 즉 계산 횟수가 늘어날수록, 결론적으로 횟수 n이 무한대에 가까워질수록, 부드러워지게 되는겁니다! 따라서 n이 무한대로 갈 적의 성장을 '연속 성장' 이라고 말해줄 수 있는 거에요. 따라서, '1회 수행된 연속 성장의 비율' 로 볼 수 있겠지요! (2회 수행되면 당연히 자연 상수 e를 두 번 곱한 e의 제곱(e^2)이 성장 비율이 되겠네요~) "최대로 성장할 수 있는 비율" 당연스레 1회 연속 성장의 비율을 초과해서 1회 연속 성장이 될 수 없으니까요! 당연한 말이라고 보시면 됩니다! (우리가 지수 혹은 로그 함수의 미적분을 공부할 때 수도 없이 튀어나오는 자연 상수도, 이런 자연스러운 증가율의 의의를 가지다 보니 계속해서 엮여나오는 것으로 볼 수 있겠어요!) 이제 이해되셨나요? "100%의 성장률을 가지고 1회 연속 성장할 때, 최대로 성장할 수 있는 비율" 지금까지 어려웠던 내용 읽어주신 여러분께 수고하셨다고 전해드리고 싶습니다~ 작성한 내용 중 이해가 힘든 부분은 혼자 끙끙대지 마시고 댓글로 물어보셔도 돼요! |
지수 e 값 - jisu e gabs
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