적분 거리 공식 - jeogbun geoli gongsig

원점을 동시에 출발하여 수직선 위를 움직이는 두 점 \(\rm P,\;Q\) 의 시각 \(t\) 에서의 속도가 각각 \(v_P (t)=1-2t,\; v_Q (t) = 3t^2 -1\) 일 때, \(\overline {\rm PQ}\) 의 중점 \(\rm M\) 이 다시 원점을 지날 때까지 점 \(M\) 이 움직인 거리는?

① \(\dfrac{1}{27}\)          ② \(\dfrac{2}{27}\)          ③ \(\dfrac{1}{9}\)          ④ \(\dfrac{4}{27}\)          ⑤ \(\dfrac{5}{27}\)          

수학 공식 | 고등학교 > 적분과 속도, 위치, 거리

속도와 위치, 거리

$ x $축 위를 움직이는 점의 시각 $ t $에서의 속도를 $ v=f(t) $, 시각 $ t_0 $에서의 점의 위치를 $ x_0 $라고 하면

1. 시각 $ t $에서의 점의 위치는
   \begin{gather*}
   x_0 + \int_{t_0}^{t} v(t) dt
   \end{gather*}
2. $ t=a $부터 $ t=b $일 때까지 위치의 변화량은
   \begin{gather*}
   \int_{a}^{b} f(t) dt
   \end{gather*}
3. $ t=a $부터 $ t=b $일 때까지 점의 운동거리는
   \begin{gather*}
   \int_{a}^{b} |f(t)| dt
   \end{gather*}

좌표가 $ 2 $인 점에서 출발하여 수직선 위를 움직이는 점 $ P $의 $ t $초 후의 속도가

\begin{gather*}
v(t) = t^2 - 3t + 2
\end{gather*}

일 때, 다음을 구하여라.

1. 시각 $ t = 0 $에서 $ t = 2 $까지 점 $ P $의 위치의 변화량
2. 시각 $ t = 2 $에서 점 $ P $의 위치
3. 시각 $ t = 0 $에서 $ t = 2 $까지 점 $ P $가 움직인 거리

1. $ \displaystyle \int_{0}^{2} ( t^2 - 3t + 2 ) dt = \frac{2}{3} $
2. $ \displaystyle 2 + \int_{0}^{2} ( t^2 - 3t + 2 ) dt = \frac{8}{3} $
3. $ \displaystyle \int_{0}^{2} | t^2 - 3t + 2 | dt = 1 $

JB2018/07/09 11:34수학 공식

Ⅸ 미적분의 활용

　(4) 적분과 속도, 거리문제

1. 수직선에서의 운동

미적분의 활용 두번째 포스팅에서 배웠듯

변위를 시간에 대해 미분하면 속도, 속도를 시간에 대해 미분하면 가속도라고 했습니다.

반대로 가속도 함수를 시간에 대하여 부정적분하면 부정적분 중 하나가 속도함수가 되고, 

속도함수를 시간에 대하여 부정적분하면 그 중 하나는 위치함수가 된다는 것을 배웠죠.

그렇다면 정적분을 하면 어떻게 될까요?

만약 수직선에서 운동하는 물체의 속도함수를 v(t), 위치함수를 x(t)라고 하고, 0초부터 k초까지 운동할 때의 정적분을 구해볼게요.

이것은 무엇을 의미할까요.

k초일 때의 위치에서 0초(처음)일 때의 위치를 뺀 것이므로

v(t)를 0초에서 k까지 정적분을 한다는 것의 의미가 0초에서 k초까지의 변위를 나타낸다는 것이지요.

즉, 정적분은 그 기간동안의 변위를 의미합니다.

그런데 여기서 x(k)에 대한 식으로 정리하면 아래와 같이 됩니다.(k를 t로 바꾸죠.)

이것은 수직선에서 운동하는 물체의 위치함수 x(t)를 도출해낸 것입니다.

다시말해 위치는 처음위치와 변위의 합이라는 당연한 소리입니다.

물론 대부분 처음위치가 원점이 되므로 위치함수도 변위함수와 같은 경우가 더 많긴 하겠죠.

위에서는 속도 함수를 적분한것인데요.

그렇다면 가속도의 함수를 정적분하면 어떻게 될까요?

'나중속도 - 처음속도'이므로 속도의 변화량을 의미합니다.

마찬가지로 v(t)를 구해보면

속도는 처음속도와 속도의 변화량의 합으로 나타낼 수 있죠.

만약 아래와 같은 속도함수 v(t)가 있다고 합시다.

<그래프>

그래프를 해석해봅시다. 

처음에는 (+)방향으로 운동하다가 2초일 때 방향을 바꿔 반대방향으로 운동하며 속도가 증가하다가 정지했죠.

그림을 그리면 아래와 같겠죠.

그리고 t=0부터 t=2까지의 넓이가 6이고, t=2부터 t=3까지의 넓이가 2이므로

이것이 의미하는 것은 아까 설명했듯 변위입니다.

(+)방향으로 6을가고, (-)방향으로 2를 갔으므로 전체적으로는 (+)방향으로 4만큼 갔다고볼 수 있는것이죠.

그럼 실제 움직인 거리는 어떻게 구할까요?

t=2에서 t=3까지의 정적분은 음수가 나오므로 아래와 같이 음수를 양수로 바꿔주어 구할 수 있겠죠.

간단히 표현하자면 아래와 같습니다.

※

0초에서 t초까지의 변위

0초에서 t초까지의 실제 움직인 거리(이동거리)

t초 후의 위치 = 처음위치 + t초동안의 변위

2. 평면에서의 운동

역시 전 포스팅에서 배웠던 것처럼 2차원에서는 x와 y라는 2개의 성분이 생깁니다.

따라서 마찬가지로 각 성분의 위치를 미분하면 각 성분에서의 속도를 구할 수 있고요.

속도를 적분하면 변위가 되겠고요. 처음위치를 알면 당연히 위치를 구할 수가 있겠죠.

이동한 총 거리를 구하고 싶다면

'순간속도의 크기 = 순간속력'이라는 것을 이용하여 속력에 대한 함수를 구한다음

속력을 적분해주면 그 구간동안 이동한 총 거리가 나옵니다.