안녕하세요~ Show
항상 쉽고 간편하게 수학을 가르치려고 하는, Math Hacks입니다!
오늘은 평가원 단골 소재인, 절댓값 함수의 미분을 정리하겠습니다. 1. 절댓값이 포함된 함수
기본으로 시작합시다.
|f(x)| 는 어떻게 그릴까요?
절댓값의 정의에 따라 풀면 됩니다.
|f(x)|는 f(x)>0 일 때는 그대로 f(x), f(x)<0 일 때는 -f(x) 형태입니다.
즉, f(x) 의 x 축 아래 부분을 위로 대칭시키면 됩니다.
f(x)의 x축 아래 부분을 위로 올리면 됩니다. 2. |f(x)| 의 미분 가능성
평가원의 단골 소재입니다.
|f(x)|를 주고, 미분 가능성을 묻는 문제입니다.
이는 아래의 핵심으로 접근합니다. 1. f(x) = 0을 만족하는 x=a에서 -> f'(a) = 0위가 f(x)에 대해 만족되면, |f(x)| 는 미분 가능합니다.
(단, f(x) 가 미분 가능해야 합니다.)
왜 그럴까요?
|f(x)|의 미분 가능성을 살피기 위해 미분합시다.
위처럼 |f(x)| 를 푸는 과정에서 {|f(x)|}'의 경우가 나누어집니다.
이를 바탕으로 그림 - 2의 함수를 미분합시다.
f(x) = 0 이 되는 x = 1, x = 5 를 기준으로 {|x^2-6x+5|}'이 2개로 나누어집니다.
x=1 왼쪽 근방에서는 f'(x), 오른쪽 근방에서는 -f'(x)이고,
x=5 왼쪽 근방에서는 -f'(x), 오른쪽 근방에서는 f'(x)입니다.
이때 |x^2-6x+5| 가 미분 가능하려면, {|f(x)|}' 이 연속이어야 합니다.
즉, x = 1, x = 5에서 f'(x) = -f'(x)가 성립해야 합니다.
이는 f'(x) = -f'(x) = 0의 경우 밖에 없습니다.
그래서, 1. f(x) = 0을 만족하는 x=a에서 -> f'(a) = 0가 성립합니다.
즉, |f(x)| 가 미분 가능하려면
f(x) = 0의 모든 근에서 f'(x) = 0 이 성립해야 합니다.
모든 f(x)의 근에서 f'(x) = 0이라는 것은,
f(x)가 항상 근에서 x축과 접하거나, 기울기가 0인 채로 뚫는 것을 의미합니다.
이는 f(x)의 근들이 모두 이중근 이상이어야 함을 뜻합니다.
즉, |f(x)|가 미분 가능하려면, 2. f(x) = (x-a)^n*(x-b)^m*(x-c)^o.... -> n, m, o..... >=2라는 것을 알 수 있습니다.
이는 {다항 함수}*{초월함수} 의 형태에서 적용 가능합니다.
위의 함수는 {다항 함수}*{초월 함수} 꼴인 f(x) = (lnx) * (x-1)입니다.
ln(x)는 x = 1에서 근을 갖고, (x-1)도 x = 1 에서 근을 가집니다.
즉, f(x) = 0은 (x-1) 인수가 2 제곱입니다.
그래서 |f(x)|은 미분 가능합니다.
오늘은 아래의 핵심만 기억하면 되겠습니다.
|f(x)| 가 미분 가능하려면? 1. f(x) = 0을 만족하는 x=a에서 -> f'(a) = 02. f(x) = (x-a)^n*(x-b)^m*(x-c)^o.... -> n, m, o..... >=23. 예제 풀이
예제로 2020년 3월 시행 모의고사 30번 문제를 풀어보겠습니다.
위 문제에서 기본적으로 요구하는 밑 작업을 했습니다. (조건 (가)까지)
조건 (나)를 봅시다.
f(x)가 3차 다항식이므로, g(x), l(x)는 4차 다항식입니다. 2. f(x) = (x-a)^n*(x-b)^m*(x-c)^o.... -> n, m, o..... >=2위 핵심을 활용하면,
(나)로 인해 4차 다항식 l(x)가 단일근이 하나이고,
나머지 근들은 모두 이중근 이상임이 확정.
l(x)는 "단일근*4, 단일근/삼중근, 단일근*2/이중근, 이중근/이중근" 조합이 가능.
l(x) 는 단일근이 하나이므로,
단일근/삼중근으로 이루어져 있습니다.
즉, l(x) = 4(x-a)^3*(x-b) 꼴입니다.
그러면 위의 조건을 가지고, l(x)를 그려봅시다.
l(x)의 개형은 alpha와 beta의 대소로 2 경우가 생깁니다.
위 개형은 alpha < beta 일 때입니다.
l(a) = 0 이므로, a는 alpha와 beta 중 하나입니다.
저는 alpha를 a로 하겠습니다.
h(t)라는 함수가 h(3) = 0이고, h(2)에서 최댓값을 가진다는 것을 활용합니다.
h'(t) = -f(t) 이기 때문에, l'(x) = g'(x) = f(x) 임을 사용하면,
h'(t)는 아래와 같은 개형입니다.
h(t)의 정의로, h(a) = 0입니다.
alpha = a로 둔 저는 h'(t)의 개형을 바탕으로
h(t)가 x=alpha=a부터 증가하다가, h'(t)의 근에서부터 감소하는 것을 알 수 있습니다.
h(2)의 값이 최대이므로, h'(t)의 근은 x=2입니다.
즉, h'(t) = -f(t) = -4*(x-a)^2*(x-2)가 확정됩니다.
마지막으로 h(2) = 27을 활용, a=-1!
즉, f(5) = 432입니다. 오늘은 평가원 단골 소재인 절댓값 함수의 미분을 다루었습니다.
단골 소재인 만큼 관련 기출문제들이 엄청 많고, 대부분 고난도로 출제됩니다.
시간이 되면 관련 기출문제들을 풀이하는 시간을 갖도록 하겠습니다.
질문이 있으면 망설이지 말고 질문해 주셨으면 좋겠습니다~
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Ln 절대값 미분 - ln jeoldaegabs mibun
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