일차 방정식의 해 뜻 - ilcha bangjeongsig-ui hae tteus

✾ 일차방정식의 풀이

❦ 등식과 방정식

❧ 등식 : 등호 '\(=\)'를 사용하여 두 수 또는 두 식이 같음을 나타낸 식

❧ 방정식 : 미지수 \(x\)의 값에 따라 참이 되기도 하고 거짓이 되기도 하는 등식을 \(x\)에 관한 방정식이라고 한다.

▶ 미지수 : 방정식에 있는 \(x\)등의 문자

▶ 방정식의 해(근) : 방정식을 참이 되게 하는 미지수 \(x\)의 값

▶ 방정식을 푼다 : 방정식의 해(근)을 구하는 것

  예) 방정식 \(x+1=3\)의 해는 \(x=2\)이다.

❧ 항등식 : 미지수 \(x\)에 어떤 값을 대입하여도 항상 참이 되는 등식을 \(x\)에 관한 항등식이라고 한다.

  예) \(x+2x=3x,~4x-3x=x\)

❦ 등식의 성질

❧ 등식의 양변에 같은 수를 더하여도 등식은 성립한다.

\[a=b이면 ~ a+c=b+c\] 

❧ 등식의 양변에 같은 수를 빼어도 등식은 성립한다.

\[a=b이면 ~ a-c=b-c\] 

❧ 등식의 양변에 같은 수를 곱하여도 등식은 성립한다.

\[a=b이면 ~ a \times c=b \times c\] 

❧ 등식의 양변에 \(0\)이 아닌 같은 수로 나누어도 등식은 성립한다.

\[a=b이면 ~ \frac{a}{c}=\frac{b}{c}~(단,~c\ne0)\]

❦ 일차방정식

❧ 이항 : 등식의 성질을 이용하여 등식의 어느 한 변에 있는 항을 부호를 바꾸어 다른 변으로 옮기는 것

\(\eqalign{x+1&=2\\x+1-1&=2-1\\x&=2-1\\x&=1}\)

\(\eqalign{x+1&=2\\x&=2-1\\x&=1}\)

❧ 일차방정식 : 방정식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때

(일차식)=0

의 꼴로 나타내어지는 방정식을 일차방정식이라고 한다.

† 미지수가 \(1\)개인 일차방정식을 간단히 일차방정식 또는 방정식이라고 한다.

❧ 일차방정식의 풀이

(1) 계수가 소수나 분수가 있으면 양변에 적당한 수를 곱하여 계수를 정수로 고친다.

(2) 괄호가 있으면 괄호를 푼다.

(3) 미지수 \(x\)를 포함한 항은 좌변으로, 상수항은 우변으로 이항한다.

(4) 양변을 정리하여 \(ax=b(a\ne0)\)의 꼴로 고친다.

(5) \(x\)의 계수 \(a\)로 양변을 나눈다.

예1) \(\begin{align}2x+2&=-x+8\\2x+x&=8-2\\3x&=6\\x&=2\end{align}\)	예2) \(\begin{align}3(x-1)&=x+1\\3x-3&=x+1\\3x-x&=1+3\\2x&=4\\x&=2\end{align}\)
예3) \(\begin{align}\frac12 x +3&=\frac13 x +1\\6\times \left( \frac12 x +3 \right)&=6\times \left(\frac13 x +1\right)\\3x+18&=2x+6\\x&=-12\end{align}\)
예4) \(\begin{align}0.2x+1&=0.4x-2\\10\times(0.2x+1)&=10\times(0.4x-2)\\2x+10&=4x-20\\-2x&=-30\\x&=15\end{align}\)

❦ 일차방정식의 활용

❧ 일차방정식을 활용하여 문제를 해결하는 순서

(1) 문제의 뜻을 파악하고, 무엇을 미지수로 놓을지 결정한다.

(2) 등식 관계가 있는 수량을 찾아 일차방정식으로 나타낸다.

(3) 일차방정식을 푼다.

(4) 구한 해가 문제의 뜻에 맞는지 확인한다.

  예) 형제의 나이의 합이 \(50\)살이다. 형이 동생보다 \(12\)살 많다고 할 때, 동생의 나이를 구하여라.

(1) 동생의 나이를 \(x\)살이라고 한다.

(2) 형의 나이는 \(x+12\)살이므로
     \(x+x+12=50\)

(3) \(2x+12=50\)에서 \(x=19\)

(4) \(19+19+12=50\)이므로, 동생의 나이는 \(19\)살이다.

☞ 한 걸음 더

♠ 구장산술(九章算術)

  오랜 옛날 중국에서 만들어진 『구장산술』이라는 수학책은 기원전 1세기쯤에 쓰여진 것으로 추정되지만 더 오래 전부터 있었다고 한다. 이 책은 삼국 시대때 우리 나라에 들어와 수학교과서로 사용이 되었다. '방정(方程)'이라는 단어는 구장산술에서 미지수 문제를 풀 때 산가지 셈을 이용했는데, 이때 산가지를 배열해 놓은 모양이 정사각형 모양을 이루었다 해서, 즉, 정방형 모양이기 때문에 유래되었다고 한다. 방(方)은 왼쪽과 오른쪽, 정(程)은 크고 작음의 비교를 뜻한다고 한다. 옛날에는 방정식을 '방정'이라 불렀는데 그래서 구장산술 8장의 제목도 '방정'이다.

♠ 파피루스에 실린 가장 오래된 방정식

아하와 아하의 1/7의 합이 19일 때, 그 아하는 얼마일까?

♠ 디오판토스[Diophantos, 200? ~ 300?]

  대수학의 아버지라고 불리며, 주저 《산학, Arithmetica》은 13권 중 6권이 현재까지 남아 있다. 《산학》은 아라비아어로 번역되어 그곳 학자에게 영향을 끼쳤으며, 중세 말기에 유럽으로 전파되어 대수학 발달에 공헌했다. 디오판토스의 묘비에는 다음과 같은 글이 적혀있었다고 전해진다.

  이 무덤 아래 디오판토스 잠들다. 그는 일생의 \(\frac16\)을 소년으로 지냈으며, \(\frac1{ 12}\)이 지난 뒤에는 얼굴에 수염이 자라기 시작했다. 일생의 \(\frac17\)이 지난 다음에야 아내를 맛이하여 다섯 해가 지난 다음에 자식 하나를 얻었다. 슬프구나. 그애는 아비의 생애의 반을 살고 세상을 떠나고 말았다. 이 슬픈 시련을 견디며 지내기를 \(4\)년, 아비 또한 이 땅의 삶을 마쳤다.

\[\begin {align}\frac16 x+ \frac1{ 12}x+ \frac17 x+ 5+ \frac12 x+4=x\end {align}\]

이를 통하여 디오판토스가 생을 마칠 때의 나이는 \(84\)세였을 것이라고 추정할 수 있다.

3학년 1학기

Theme 15. 이차방정식의 뜻과 해의 의미

인수분해를 잘 마무리하고 넘어온 여러분께 수고했다라는 말을 전해주고 싶다.

이번 Theme에서는 이차방정식의 뜻을 알아보고 방정식에 매번 나타나는 해의 의미를 알아보자.

1학년 배웠던 일차방정식의 뜻과 마찬가지 방법으로 이차방정식의 뜻은 매우 간단하다.

이차방정식은 주어진 등식의 우변에 있는 모든 항을 좌변으로 이항하여 정리하였을 때 x에 대한 이차식이면 이차방정식이다.

Ex 1) 주어진 방정식

풀이 : 우변에 있는 항을 좌변으로 이항하여 정리해보면 다음과 같다.

이제 방정식에서 사용되는 해의 의미를 알아보도록 하자.

해의 의미 역시 1학년 때 이미 배웠던 내용과 같다.

해 또는 근 : 주어진 방정식을 참이 되게 하는 미지수 x의 값

방정식을 푼다 : 주어진 이차방정식의 해를 구하는 것과 같은 뜻이다.

Ex 2)

분석 : 해의 후보(?)가 주어졌기 때문에 대입을 하여 등식이 참이 되는지 확인한다.

풀이 : 각각의 값을 대입하여 풀어보면 해는

오늘 내용은 여기까지이고 교과서나 문제집을 통해 연습을 하기 바란다.

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