응용 미분 방정식 - eung-yong mibun bangjeongsig

​<미분방정식>

y는 하나의 변수 x의 함수라 하자.

n이 고정된 양의 정수라 할 때

x, y, y', y", …, y(n)를 포함하는 방정식을​

n계 상미분방정식(ordinary differential equation of order n)이라 부른다.

앞으로 다룰 미분방정식에서는

편도함수가 포함되지 않으므로​

수식어 '상'을 생략하기로 한다.

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​<지수모형>

​미분방정식에서 가장 간단한 형태 중의 하나는

다음과 같이 주어지는 일계 미분방정식이다.

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여기서 k는 실수이다.

위 미분방정식은 지수적으로 성장하거나 쇠퇴를 보이는

양의 변화를 모형화하는 데 사용되고 있으며,

임의의 시간 t일 때의 양의 변화율은

시간 t일 때의 양의 크기에 직접 비례한다는

가정에 기반하고 있다.

y=f(t) 형태의 해(solution)는 앞의 미분방정식에서

y 대신에 대입했을 때 등식을 만족시키는 함수이다.​

위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.

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독립변수에 대해 양변을 적분하면

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y에 대해 풀면 다음과 같다.

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여기서 C는 임의의 상수이다.

그러므로 이 해는 미분방정식을 만족시키는

함수 군을 형성한다.

​k=3이라면 해는 y(t)=Ce3t가 된다.

이를 y'=3y의 일반해(general solution)라 부른다.​

경우에 따라서는 물리적 제약으로 인해

해에 어떤 조건이 부과된다.

이를 만족시키는 특수해(particular solution)를 찾아야 할 때도 있다.​

t=0일 때 y=2여야 한다면

주어진 일반해로부터 상수 C의 값을 구할 수 있다.

이때 주어진 조건을 초기조건(initial condition)이라 부른다.​

초기조건이 있는 미분방정식 문제를

초기값 문제(initial-value problem)라 부른다.

​선형대수의 측면에서 보면

미분방정식 y'=ky의 일반해는

R상에서 벡터 ekt가 생성하는 공간,

즉 실직선상의 미분가능함수가 이루는

벡터공간의 일차원 부분공간으로 생각할 수 있다.​

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​<상수계수를 갖는 이계 미분방정식>

일계 미분방정식을 이계로 확장한

다음 형태의 미분방정식을 고려한다.

​

​

지수모형에서 찾은 해와 같은 형태의 해가

위 이계 미분방정식에도 존재하는지 검토하기 위해

y=erx(r은 실수)를 시도하자.​

일차도함수와 이차도함수를 계산하여

위 미분방정식에 대입하고 정리한다.

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​

모든 r과 x에 대해 erx>0이므로

erx이​ y"+ay'+by=0의 해가 되는 필요충분조건은

​

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이 식을 보조방정식(auxiliary equation)이라 부른다.​

이 식은 이차방정식이므로

근 r₁과 r₂는 아래의 세 가지 경우로 발생한다.

이에 따라 미분방정식의 해도 세 가지 형태로 발생한다.​

​

경우 1

근 r₁과 r₂는 실수이고 서로 다르다.

이 경우 다음의 두 해가 존재한다.

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​

​경우 2

한 개의 중근 r을 갖는다.

이 경우 보조방정식은 단지 한 개의 근을 갖지만,

미분방정식은 다음과 같이

두 개의 서로 다른 해를 갖는다.

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​

경우 3

서로 다른 (켤레) 복소수 r₁=α+βi와 r₂=α-βi를 갖는다.

이 경우 미분방정식의 해는 다음과 같다.

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다음은 이계 미분방정식의 해에 대한

존재성과 유일성에 관한 정리이다.

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다음에 이 내용들을 바탕으로

추가적인 개념들과 문제들을 살펴볼 것이다.​