일반상대성이론 예시 - ilbansangdaeseong-ilon yesi

여러분이 과학 분야를 잘 모른다고 해도 아인슈타인이라는 이름은 자주 들어봤을 것입니다. 아인슈타인은 근대 과학의 하나의 현상이라고 볼 수 있습니다. 아인슈타인 이전에는 뉴턴 과학의 시대였습니다. 우주의 모든 것이 뉴턴 물리학으로 모든 것을 설명할 수 있다고 자신했었습니다. 더 이상의 물리 이론은 필요없다는 식의 분위기가 팽배했었습니다. 하지만 1905년 스위스 특허청에서 일하던 26살의 젊은 청년의 '특수상대성이론'으로 현대물리학은 대격변을 겪게 됩니다.

상대성이론이란?

아인슈타인은 특수상대성이론을 먼저 발표하고 10년 후 일반상대성이론을 발표했습니다. 일반상대성이론은 특수상대성이론의 확장판 같은 것입니다. 상대성이론에 대해 간략히 설명하겠습니다.

특수상대성이론은 광속이 모든 관성계의 관찰자에 대해 동일하다는 원칙에 근거해서 시간과 공간 사이의 관계를 기술하는 이론입니다. 움직이는 물체의 관성계와 그걸 관찰하는 관찰자의 관성계는 서로 다른 시간과 공간을 가지게 됩니다. 예를 들어, 빛의 속도와 가까운 우주선이 있다고 할 때 이 우주선을 바라보는 사람은 날아가는 우주선의 길이가 짧아지고(길이수축) 우주선안의 시계는 천천히 흐르는 것처럼 보입니다.(시간지연) 특수상대성이론은 이런 시간의 상대성, 공간의 상대성을 다룬 이론입니다.

일반상대성이론은 모든 가속계에서도 같은 물리 법칙이 성립한다는 확장된 상대성 원리와 관성력과 중력이 동등하다는 등가의 원리를 바탕으로 한 이론입니다. 관성력에 의한 효과와 중력에 의한 효과는 근본적으로 동일하므로 관성력과 중력을 구별할 수 없다는 등가원리를 담고 있습니다. 또한, 중력에 의해 공간이 휘어짐을 밝혀냈습니다. 그 공간의 형태에 따라 빛도 휘어지는 중력 렌즈 효과를 찾아낸 이론입니다. 이 외에도 블랙홀의 존재를 예측한 이론이기도 합니다.

이 상대성 이론은 시간과 공간에 대한 개념을 이전과는 완전히 다르게 받아들이게 만들었습니다. 뉴턴이 말하는 절대적인 시간과 절대적인 공간은 존재하지 않는다는 것을 알게 된 것입니다.

이 상대성이론은 단순히 우주를 표현하는 것에서만 그치는 것은 아니었습니다. 상대성이론은 우리의 실생활에서 쉽게 만나볼 수 있습니다. 상대성이론이 적용된 제품들이 어떤 것들이 있는지 알아보겠습니다.

상대성이론을 적용한 GPS 시스템

가장 자주 언급되는 것으로는 GPS와 GPS를 이용한 모든 제품들(휴대폰, 내비게이션 등)이 있습니다. GPS는 위성과 수신기로 이루어져 있습니다. 내비게이션에 있는 GPS 수신기는 위성으로부터 시각과 위치정보를 빛의 속도로 받습니다. 그런데 GPS위성은 빠른 속도로 이동하는 관성계입니다. 특수상대성이론에 의해 GPS 위성의 시계는 지상의 수신기보다 시간이 느리게 흐릅니다. 이 느려진 시간 때문에 제대로 거리를 측정할 수 없게 됩니다. 단 0.00001초만 틀려도 위치가 수 킬로미터나 차이가 나게 됩니다.

또한 GPS 위성과 지상 수신기의 중력이 서로 다릅니다. 위성이 지구중심으로부터 조금 더 떨어져 있으므로 지상보다 중력이 작습니다. '중력이 약할수록 시간이 빨리 흐른다'는 일반상대성이론에 따라 GPS 위성의 시계는 지상 수신기의 시간과 달리 흐릅니다.(이에 대한 예시는 영화 '인터스텔라'에서 밀러 행성으로 들어간 사람과 행성 밖에 있는 사람의 시간 흐름이 다른 것을 볼 수 있습니다.)

<영화 '인터스텔라'에서 밀러행성 장면>

이런 시간의 오차 때문에 GPS는 시간을 보정해줘야 합니다. 이 보정값은 상대성이론을 토대로 우리 핸드폰에 또는 내비게이션에 반영되어 있습니다.

마무리

상대성이론은 지금도 우주와 중력을 아주 잘 설명하는 이론 중 하나입니다. 시공간이라는 개념도 만들어 냈습니다. 또한, 거대한 우주의 모습을 가장 정확히 그려내고 있다고 봐도 과언이 아닙니다. 우리 핸드폰 안에도 이 상대성이론이 살아 숨쉬고 있고 행성들의 움직임, 빛의 움직임도 상대성이론을 따르고 있습니다. 아인슈타인의 이론은 내비게이션 GPS에서 볼 수 있듯이 매우 정확합니다. 여러분이 가진 내비게이션이 실제 위치와 거의 동일한 위치를 표시한다는 것을 보면 상대성이론이 얼마나 정확도를 가진 이론인지 아실 수 있을 것입니다.

일반상대성이론은 특수상대성이론과 부합하는 중력이론이다. 천재물리학자 알베르트 아인슈타인이 그런 기획으로 만들기 시작해 성공한 이론이다. 한마디로 말해 뉴턴의 만유인력의 법칙이 현대화된 버전이다. 중력 현상을 가장 잘 관찰할 수 있는 무대는 우주이다. 지구나 태양 같이 천체 규모의 질량이 모여야만 그 효과를 쉽게 관측할 수 있기 때문이다. 실제로 만유인력의 법칙이 탄생하는 데에 케플러의 행성운동법칙이 큰 역할을 했다.

그렇다면 아인슈타인의 새로운 중력이론도 그 효과가 우주에서 가장 잘 드러날 것이다. 마침 20세기 초에는 천문학에서 아직 해결되지 않은 해묵은 문제가 하나 있었다. 바로 수성의 근일점 이동 현상이었다. 

근일점이란 행성이 태양 주변을 공전할 때 태양에 가장 가까워지는 지점이다. 행성이 태양 주변을 원형으로 돌지 않고 타원으로 돌기 때문에 (이것이 케플러의 행성운동 제1법칙이다.) 태양에 가장 가까워지는 지점과 가장 멀어지는 지점(원일점)이 생긴다. 근일점이 이동한다는 것은 정확히 말해 공전궤도가 고정돼 있지 않고 계속 움직인다는 뜻이다.

케플러 제 1법칙. 타원궤도를 따라 움직이는 행성들. 태양에서 멀어지면 속도가 느려지고 태양에 가까워지면 속도가 빨라진다. 수학동아 DB

뉴턴이 발견한 만유인력의 법칙에 따르면 질량이 있는 두 물체 사이에는 중력이라는 당기는 힘이 작용하는데, 그 힘의 크기는 두 물체가 떨어진 거리의 제곱에 반비례한다. 이를 '역제곱의 법칙(inverse square law)'이라 한다. 수학적으로는 중력이 거리의 (-2)승에 비례한다고 표현할 수 있는데, 거리의 지수에 해당하는 값이 하필 (-2)이기 때문에 대단히 흥미롭고도 중요한 결과가 나온다. 중력이 거리의 함수로서 (-2)승에 비례하면 행성의 궤도는 고정불변이다. 즉 행성이 태양 주변을 한 바퀴 돌고 나면 원래의 출발점으로 정확하게 다시 돌아온다. 

지구에서 관측한 수성의 공전궤도는 이처럼 태양주변으로 고정된 타원궤도가 아니다. 수성이 1회 공전할 때마다 원래의 출발점이 아니라 약간 어긋난 지점에 도달한다. 그 결과 해가 지날수록 수성의 공전궤도 전체가 천천히 회전하는 효과를 낸다. 이를 기술하기 위해 하나의 기준점을 잡은 것이 수성의 근일점이다. 수성의 근일점이 돌아가는 정도는 100년에 5600초로 알려져 있었다. 여기서 ‘초’는 각도의 단위로서 1도 각도의 60분의 1이 1분 각도이고, 다시 1분 각도의 60분의 1이 1초 각도이다. 이 가운데 5,025초는 지구의 운동 때문에 생기는 변화이다. 지구가 자전할 때 마치 팽이가 도는 것처럼 회전축 자체가 천천히 회전하는 세차운동을 한다. 즉, 관측자의 위치가 바뀌기 때문에 수성의 근일점이 이동하는 것처럼 보이는 효과를 낸다. 

지구 자전축은 팽이와 같이 빙글빙글 돈다. 세차운동의 방향은 지구의 자전 방향과 반대이다. NASA 제공

목성 등 다른 행성의 영향도 있다. 그 정도는 100년에 532초이다. 태양계에는 태양과 여러 행성들이 있고 이들 각각이 서로 중력을 주고받는다. 목성이 중요한 이유는 그 엄청난 질량 때문이다. 만유인력은 거리의 제곱에 반비례하고 두 물체의 질량의 곱에 비례한다. 태양-목성의 거리는 태양-지구 거리의 약 5배이다. 역제곱 법칙에 따르면 거리가 5배 커지니까 중력은 25배 작아진다. 그러나 목성의 질량은 지구 질량의 300배가 넘는다. 따라서 태양 주변에 미치는 영향은 목성이 지구보다 대략 12배 더 크다고 볼 수 있다. 

이제 남은 것은 100년에 43초이다. 이는 여전히 정체불명으로 남아 있었다. 뉴턴 역학의 패러다임 속에서 이 값을 설명할 수는 없었으나 그렇다고 해서 뉴턴 역학이 잘못되었다고 생각하는 사람은 아무도 없었다. 대다수의 과학자들은 수성의 근일점 문제 또한 뉴턴 역학이 성공적으로 해결하리라 믿었다. 이 사례는 귀납주의 또는 그 변종인 포퍼의 반증주의가 제대로 작동하지 않는 대표적인 사례이다. 케플러처럼 행성의 공전궤도가 원이라는 자신의 신념을 버리면서까지 브라헤의 관측 데이터를 더 신뢰해 타원궤도라는 결론을 이끌어 낸 철저한 귀납주의자들이라면 수성의 근일점 이동을 이유로 뉴턴의 만유인력의 법칙을 버렸을지도 모른다. 그러나 과학의 역사에서 그런 일은 거의 일어나지 않는다. 똑똑한 과학자들은 어떻게든 기존의 패러다임 속에서 해결책을 찾아낸다. 

과학의 역사에서 아주 비슷한 사례도 있었다. 교양과학 수업을 하면서 수성의 근일점 이동을 설명할 때마다 나는 학생들에게 5025초와 532초의 원인을 알려준 뒤 나머지 43초를  뉴턴 역학의 체계 속에서 어떻게 설명했을까, 라는 질문을 던진다. 수강생들 중에는 과학을 전혀 배운 적이 없는 인문계열 학생들도 더러 있는데, 대체로 감히 내가 어떻게 뉴턴 역학을 이용해서 천문학의 문제를 해결할 방법을 알아내겠냐는 표정들이다. 만약 그 해법이 전공자들만 알 수 있는 내용이라면 나 또한 그런 질문을 던지지는 않았을 것이다. 실제로 나는 수업 시간에 이렇게까지 말을 하면서 결정적인 힌트를 하나 제시한다. “지금까지 말한 것 중에 답이 있습니다.”

새로운 힌트에 더 어리둥절해하는 학생들이 있는가 하면 눈치가 빠른 학생들은 이제야 알겠다는 듯 다소 허탈한 표정으로 한마디씩 내뱉는다. “수성 궤도에 영향을 주는 새로운 행성을 하나 도입합니다.”

주어진 체계 속에서 정해진 답만 찾는 데에 익숙한 한국의 교육현실에서는 우리가 너무나 잘 알고 있는 태양계에 새로운 행성을 하나 ‘도입’한다는 개념 자체가 낯설고도 두려운 일이다. 그러나 태양계가 지금 우리가 알고 있는 모습을 갖추는 과정에서도 아주 똑같은 사례가 있었다.

보이저 1호가 촬영한 태양계 가족 사진이다. 해왕성과 천왕성은 오랜 시간 노출을 하며 촬영해 행성이 둥글지 않고 늘어나 보인다. NASA 제공

바로 해왕성의 경우였다. 고대로부터 밤하늘에서 육안으로 관측할 수 있는 행성은 토성까지였고, 망원경을 이용해 처음으로 발견한 행성이 천왕성이다. 천왕성은 겨우 1781년에 이르러서야 독일의 윌리엄 허셜과 캐롤라인 허셜이 손수 제작한 망원경으로 발견할 수 있었다. 천왕성의 공전주기는 84년에 달해 그 공전궤적을 추적하는 데에만 수십 년이 걸린다. 천문학자들은 19세기 중엽 천왕성이 발견 이후 첫 공전주기를 완성하기도 전에 그 궤적을 관측해 뉴턴 역학의 예측과 어긋남을 발견했다. 수성의 근일점 이동과 사실상 같은 상황이다. 

이때 천문학자들(부봐르, 애덤스, 르베리에 등)은 뉴턴 역학을 폐기하지 않고 천왕성 바깥에 새로운 행성을 도입함으로써 천왕성의 궤도 문제를 해결했다. 해왕성은 거의 계산된 위치에서 발견되었다. 뉴턴 역학의 위기가 오히려 뉴턴 역학의 새로운 성공으로 이어진 셈이다. 

19세기 천문학에서 이렇게 화려한 성공의 역사가 있었기 때문에 수성의 근일점 이동을 뉴턴 역학의 위기로 생각하는 사람은 거의 없었다. 오히려 “새로운 행성을 도입해 문제를 해결한다.”는 방식이 훨씬 합리적인 해결책이다. 그래서 과학자들, 특히 르베리에는 수성의 근일점 이동을 설명하기 위해 과감하게 새로운 행성을 도입했다. 

그 이름은 벌컨(Vulcan)이었다. 행성의 이름에는 보통 신화 속의 신들의 이름이 붙는다. 벌컨은 로마신화에서 대장장이 또는 불의 신이다. 화산을 뜻하는 영어 단어 volcano의 어원이기도 하다. 군에서 사용하는 유명한 기관포인 벌컨포의 이름도 여기서 유래했다. 벌컨의 위치는 태양과 수성 사이이다. 수성보다 태양에 더 가까우니까 불의 신이라는 이름이 제격이긴 하다. 태양에 더 가까우니까 관측하기도 쉽지 않을 것이라서 지금까지 발견되지 않은 것도 설명이 된다. 

과학의 역사나 과학 발전의 맥락을 잘 모르는 사람들에게는 태양과 수성 사이의 미지의 행성이라는 개념 자체가 생소함을 넘어 황당하게까지 느껴질지도 모른다. 그러나 과학자들은 충분히 그럴만한 근거가 있다면 기존의 틀을 깨고 나가기를 즐긴다. 혁신은 여기서 나온다. 기존의 틀에만 안주해서는 새로운 뭔가가 결코 나오지 않는다. 과학이 지금까지 가장 성공적인 지식체계로 살아남을 수 있었던 것은 이처럼 끊임없이 낡은 틀을 깨고 새로운 질서를 추구했기 때문이다. 결과적으로 벌컨이라는 가설은 실패한 이론이었다. 지금 우리가 알기로는 수성과 태양 사이에 행성이나 그와 비슷한 무엇이라고 할 만한 천체가 존재하지 않는다. 

중요한 것은 특정 가설의 성공여부가 아니다. 실패는 과학의 역사에서 성공사례보다 수천만 배는 더 많이 등장한다. 보다 중요한 것은 반복되는 실패와 성공의 희비를 꿰뚫는 문제해결의 맥락이다. 해왕성에서 성공했던 방식이 벌컨에서 실패했다는 점도 흥미롭다. 만약 아인슈타인이 뉴턴 역학의 체계 속에서 낡은 접근법에만 집중했다면 일반상대성이론이라는 위대한 발견에 이르지 못했을 것이다. 

일반상대성이론에서는 중력의 본질이 시공간의 곡률이다. 질량이나 에너지가 분포해 있으면 아인슈타인의 중력장 방정식에 따라 주변의 시공간이 휘어진다. 그 속에 있는 물체는 그렇게 휘어진 시공간의 최단거리, 즉 측지선을 따라 운동한다. 이런 기획에 따라 태양 주변의 시공간이 휘어진 정도를 계산하고 그렇게 휘어진 시공간의 측지선을 따르는 수성의 운동방정식을 구해 보면, 태양에 의한 시공간의 곡률 때문에 수성이 한 주기 공전할 때마다 궤도가 틀어진다. 그 정도는 뉴턴의 중력상수, 태양의 질량, 수성의 공전주기, 수성 공전궤도와 관련된 기하학적 모수들로 계산되는데 수치를 입력하면 정확하게 100년에 43초라는 값이 나온다. 

수성의 근일점에 대한 아인슈타인의 논문은 1915년 11월에 발표됐다.

이달에만 아인슈타인은 다섯 편의 논문을 발표했는데, 중력장 방정식의 완성된 형태가 제시된 논문은 놀랍게도 수성의 근일점 논문이 나온 일주일 뒤에 발표되었다.

그러니까 수성의 근일점 이동은 자신의 새로운 중력이론이 100% 완성되기도 전에 해결되었다.
이게 가능했던 이유는 수성의 궤도를 설명하기 위한 태양 주변의 시공간의 구조는 중력장 방정식의 특수한 경우에 해당하는 풀이여서 중력장 방정식이 온전한 모습을 갖추기 전에도 그 불완전한 형태를 적용할 수 있는 경우였기 때문이었다.
 
수성의 근일점 이동은 엄밀하게 말하자면 천문학의 난제를 일반상대성이론이라는 새로운 중력이론이 사후적으로 해결한 사례이다. 대개 이론의 검증이라고 하면 그 이론이 새로운 현상을 예측하고, 이후 여러 실험으로 이를 확인하는 과정을 일컫는다. 그러나 대체로 ‘검증’의 의미를 폭넓게 해석해서 수성의 근일점 이동 또한 일반상대성이론의 중요한 ‘검증’ 사례에 포함시키는 경우가 많다. 좁은 의미에서의 검증에 정확하게 들어맞는 사례는 이보다 4년 뒤인 1919년에 있었다. 

일화에 따르면 아인슈타인은 자신의 새로운 중력이론이 세기에 걸친 천문학의 난제를 해결했다는 사실을 발견하고는 “미칠 듯이 기뻤다.”고 한다. 왜 아니 그랬겠는가. 

아인슈타인 (1915). Die Feldgleichungen der Gravitation (“The Field Equations of Gravitation”).

※관련기사 
-U. Le Verrier, “Theéorie de Mouvement de Mercure,” Ann. Observ. Imp. 5, 1–96 (1859).
-U. Le Verrier, “LettredeM. Le Verrier a M. Fayesur la Théorie de Mercure et sur le Mouvement du Périhélie de Cette Plantète,” in Comptes Rendus Hebdomadaires des Séances de l’Académie des Sciences49, 379–383 (1859).
-A. Einstein, (November 18, 1915), "Erklärung der Perihelbewegung des Merkur aus der allgemeinen Relativitätstheorie." Königlich Preuȕische Akademie der Wissenschaften
(Berlin). Sitzungsberichte, 831-839
-이종필, 《물리학 클래식》 사이언스북스.
-G. Weinstein, Einstein, Schwarzschild, the Perihelion Motion of Mercury and the Rotating Disk Story, arXiv:1411.7370.

※필자소개 

이종필 입자이론 물리학자. 건국대 상허교양대학에서 교양과학을 가르치고 있다. 《신의 입자를 찾아서》,《대통령을 위한 과학에세이》, 《물리학 클래식》, 《이종필 교수의 인터스텔라》,《아주 특별한 상대성이론 강의》, 《사이언스 브런치》,《빛의 속도로 이해하는 상대성이론》을 썼고 《최종이론의 꿈》, 《블랙홀 전쟁》, 《물리의 정석》 을 옮겼다. 한국일보에 《이종필의 제5원소》를 연재하고 있다.