삼각함수 합 공식 - samgaghamsu hab gongsig

Math

삼각함수 공식 모음 및 증명(합차공식/합을 곱으로/곱을 합으로)

삼각함수의 덧셈정리/배각공식/반각공식 1 of 2

삼각함수의 덧셈정리/배각공식/반각공식 2 of 2

삼각함수의 정의와 부호 결정하는 방법

삼각함수 공식에 대해 설명하고픈

내용의 거의 막바지까지 온거 같습니다.

위에 링크된 두 개의 글에 이어서 오늘

나머지도 설명해 보도록 하겠습니다.

벌써 삼각함수에 관해서 세 개의 글을

포스팅 했고, 오늘 네 번째 글을 올릴려고

하는데 아... 거 내용 참 많더라고요 ㅋㅋ

일단 배각공식/반각공식 증명을 했었는데

이 두 개 모두 아래의 식을 사용해서

증명을 했습니다.

오늘은 유도해 보고자 하는 삼각함수

공식은 합을 곱으로, 곱을 합으로

바꾸는 삼각함수 공식입니다.

<곱의 형태>

<합의 형태>

위 두 개의 공식도 배각/반각공식과

마찬가지로 처음에 나온 (1), (2), (3), (4)

네 개의 식에서 유도된 식들 입니다.

삼각함수 관련 문제를 푸는데 필요한

형태로 바꿔줬을 뿐입니다.

거의 대부분의 삼각함수 공식이

이 네 개의 식에서 비롯된 것이기 때문에

저의 경우 외우는 것을 너무너무 싫어해서

그 네 개의 식을 외워서 위의 합/곱의 식을

다 유도해서 문제를 풀곤 했습니다.

참 비효율적이었지만 그만큼 외우는 걸

너무너무 싫어했고, 반대로 그렇게 유도를

할 수 있었기 때문에 도움이 된 점도

많이 있었습니다.(잘 기억은 나지 않지만ㅎ)

그냥 외우면 매번 이렇게 유도할 필요도

없었지만 방법만 알면 금방 유도해 낼 수

있었기 때문에 참 미련하게 문제를

풀었던거 같습니다.

공식증명

계속 말씀드렸 듯이 위의 네 개의

식을 통해 합->곱, 곱->합 공식을

유도해낼 겁니다.

식 (1)과 (2)를 더해 줍니다.

위와 같은 과정을 거치니

뭔가가 간단해졌습니다.

결론만 써보면 아래와 같습니다.

위의 식 양변을 2로 나눠주면

구하려고 했던 식 중에

곱을 합의 형태로 바꿔주는

공식이 유도가 됩니다.

 유도하려는 식 중 하나를

벌써 구했습니다. 위의 식은

식 (1)과 (2)를 더해서 구한 거였습니다.

이번에는 (1)에서 (2)를 빼보겠습니다.

빼줬다는 것만 제외하면 위에서

해준 것과 똑같은 계산 과정을

수행하게 됩니다. 계속 계산을

아래처럼 해보겠습니다.

합차의 형태로 바꿔주는 두 번째

공식이 유도 되었습니다!

위의 두 식은 식 (1)과 (2)의 합과

차를 통해 구해졌습니다. 그러므로

식 (3)과 (4)를 이용해서 나머지

두 식을 구해보도록 하겠습니다.

(3) + (4)

(3) - (4)

이렇게 아래의 식 네개를 모두

유도해 봤습니다. 결국 덧셈과

이번에는 곱의 형태로 바꿔주는

아래의 삼각함수 공식을 유도해

보도록 하겠습니다!

합 형태의 삼각함수 공식과는 달리

A, B가 사용되고 있습니다. 알파, 베타를

사용하다 왜 갑자기 A와 B를 사용한 걸까요?

뭐  이 공식을 먼저 발표한 사람 마음이겠지만

굳이 이유를 말해보자면 치환을 했기 때문입니다.

위와 같이 알파와 베타를 A, B로 치환했고,

아래와 같이 형태를 약간 바꿔 보겠습니다.

위의 두 식을 서로 더하것과 뺸 후

알파와 베타에 대해서 정리한 식입니다.

그럼 위의 식을 처음에 유도한 합 형태의

삼각함수 공식에 대입을 해보겠습니다.

위의 식에 아래의 식들을 대입합니다.

즉 알파 대신에 (A+B)/2

베타 대신에 (A-B)/2를

그럼 아래와 같이 알파와 베타가

없어지고 A와 B만 있는 식으로

위 네 개의 식 양변에 2를 곱해주면

아래와 같이 구하려고 했던 곱 형태의

삼각함수 공식이 구해졌습니다.

끝~~~~~~~~!

드디어 목표로 했던 삼각함수 공식들을

모두 유도해 봤습니다. 정말.. 귀찮네요 ㅋ

공식들을 일일이 작성하고 캡처해서 올리고

블로그에 다시 올려서 글 쓰고...ㅋㅋ

모든 공식 유도가 완료되었고요

이 때 중요한 건 이 유도 모두 그 시작은

식들을 더하고 빼고 곱하고 나눠줘서

형태만 바꿔준 겁니다. 이유는?

문제 풀기 쉬우라고!!!! ㅋㅋㅋ

모든 공식들이 있는 이유죠!

공식 당연히 외우면 좋지만 어떻게

이런 공식들이 생긴건지도 알면

나쁘지는 않겠죠???

삼각함수의 합차 공식을 증명하는 방법의 한 가지를 알아보겠습니다.

삼각함수 덧셈 정리, 뺄셈 정리는 증명이 끝나는 마지막에 정리하였으니, 결과를 바로 알고 싶으시다면 맨 아래를 보시면 되겠습니다.

삼각함수 덧셈 정리를 증명하는 법은 x, y축에 단위원(반지름 1)으로 그려서 할 수 있습니다.

삼각형 PQO에서  점 P의 좌표는 호도법에 의해서 (cos𝛂, sin𝛂), Q의 좌표는 (cos𝛃, sin𝛃)로 쓸 수 있습니다.

두 점의 좌표를 알 때, 두 점 사이의 거리의 제곱은 두 점의 x좌표의 차의 제곱과 y좌표의 차의 제곱의 합과 같기 때문에 다음과 같은 식으로 정리할 수 있습니다.

선분 OP와 선분 OQ는 원의 반지름의 길이인 1이므로 삼각형 PQO에서 코사인 제2법칙을 적용하면 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

위의 첫 번째 결과와 두 번째 결과는 같아야 하므로 다음과 같이 쓸 수 있습니다. 이렇게 하면 코사인 뺄셈 공식을 아래와 같이 증명할 수 있습니다.

코사인 뺄셈 공식이 다음과 같이 계산되었습니다.

위 식을 이용하면 나머지 삼각함수 합차 공식을 모두 증명할 수 있습니다.

먼저, 코사인 덧셈 공식을 증명하기에 앞서 삼각함수 성질에 관해서 알아보겠습니다. 아래와 같이 삼각함수의 음수 값은 다음과 같습니다.

코사인 뺄셈 공식에서 𝛃를 음수로 바꾼 후, 위 성질을 적용하면 코사인 덧셈 공식은 다음과 같이 다음과 같이 정리할 수 있습니다.

이제 사인 뺄셈 공식을 유도해 보겠습니다. 사인 뺄셈 공식을 유도하기 앞서 삼각함수는 또 다음과 같은 성질이 있다는 것을 알고 있어야 합니다.

코사인 덧셈 공식에서 알파는 "2분의 파이 -알파"로 놓고 식을 정리하면 사인 뺄셈 공식은 다음과 같이 유도됩니다.

사인 덧셈 공식은 위의 사인 뺄셈 공식을 이용해서 다음과 같이 구할 수 있습니다.

이제 탄젠트 합 공식을 구해보도록 하겠습니다. 맨 위 단위원 그림에서 호도법과 삼각비에서 탄젠트 값은 아래와 같이 코사인과 사인 값으로 쓸 수 있습니다.

만약에 x를 "알파+베타"라고 한다면,  탄젠트 합 공식은 위의 식과 사인과 코사인 덧셈 공식을 사용해서 다음과 같이 구할 수 있습니다.

마지막으로 탄젠트 뺄셈 공식은 다음과 같이 유도할 수 있습니다.

위에서 구한 삼각함수의 합차 공식을 정리하면 다음과 같습니다.

이상으로 삼각함수 합차 공식 유도 설명을 마칩니다.