동전 던지기 확률분포 - dongjeon deonjigi hwaglyulbunpo

안녕하세요, 홍재룡수학전문학원입니다!

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날씨가 풀리는 듯 하다가 금새 또 추워진 것 같네요.

이러다가 어느샌가 소리소문없이 봄이 오겠죠?

올해도 행복한 일들만 가득하길 바랍니다.

오늘은 이전에 포스팅했던 포아송분포와 같은 이산확률분포에

속하는 베르누이 분포(Bernoulli Distribution)에 관해 알아보려고 합니다.

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저번 포스팅에서는 좀 더 근본적인 내용을 설명드리지 못한 것 같아서

이번에는 이산확률분포가 어떤 분포인지 먼저 설명드리도록 하겠습니다.

이산확률분포(Probability Distribution)

일반적으로 어떤 시행의 결과로 나타날 수 있는 변수 X가

취할 수 있는 각각의 값들에 대해 확률을 대응시킬 때

변수 X를 확률변수, 그 대응관계를 확률분포라고 합니다.

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쉽게 생각해보면 기본적으로 분포란 일정한 범위 내에서 퍼져있는 것을 의미하므로

확률분포는 확률이 확률변수에 따라 흩어짐을 표현해주는 함수가 되는 것이죠.

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그리고 확률변수 X의 값이 유한하고 정수처럼 그 개수를

셀 수 있는 형태를 가질 때 X를 이산확률변수라고 정의합니다.

반대로 변수 X의 값을 개수로 정의할 수 없는 일정한 범위에

속하는 실수 전체일 때는 X를 연속확률변수라고 정의하죠.

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그리고 이러한 확률변수 X의 분포가 바로 확률분포가 됩니다.

보통 확률변수 X는 P(조건)=확률 과 같은 확률질량함수(PMF)와

변수 X와 각각 대응되는 확률값을 표, 그래프 형태로 정리하는

위와 같은 확률분포표, 확률분포그래프로 나타낼 수 있습니다.

확률질량함수는 확률변수와 확률의 대응관계이며

위처럼 확률의 기본적인 성질을 만족합니다.

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이제 본격적으로 베르누이분포와 밀접한 연관을 지니는

베르누이 시행과 이항분포에 대해 먼저 설명드리겠습니다.

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베르누이시행이란, 시행의 결과가 성공과 실패 두 가지로 나타날 때

결과가 성공일 확률이 p 그리고 실패할 확률이 (1-p) 인 시행을 말합니다.

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또 시행의 결과가 성공이면 1 의 값을 취하고

실패일 때는 0 의 값을 취하는 확률변수 X를

베르누이확률변수라고 다시 정의할 수 있습니다.

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쉽게 이해하기 위해 동전던지기를 시행으로 가정해볼까요?

동전을 던져서 앞면이 나오는 경우가 성공, 뒷면이 나오면 실패라고 할 때,

이 동전을 던지는 시행의 결과는 성공과 실패, 단 두 가지로 나타납니다.

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위에서 설명드렸던 확률변수와 확률분포의 관계에 따라서

베르누이분포는 베르누이확률변수에 대한 확률분포가 됩니다.

이 변수를 확률질량함수로 나타내면 다음과 같은 형태가 됩니다.

이항분포(Bionomial Distribution)

베르누이시행과 베르누이분포는 이산확률변수와 이산확률분포에서

아주 빈번하게 나오는 이항분포와도 밀접한 연관을 가지고 있는데요.

따라서 이전 포스팅에서 배웠던 포아송분포와도 연관성을 가집니다.

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베르누이시행을 n번 시도했을 때 결과가 성공과 실패로 나타나는 어떤 사건이

x번 일어날 경우의 확률변수를 X로 두고 확률질량함수로 나타내면 다음처럼 나타낼 수 있습니다.

여기서 이 베르누이 확률변수 X는 이항분포를 따른다고 말할 수 있습니다.

즉, 이항분포의 함수식이 되며 이항분포를 확률질량함수로 나타낸 꼴이 됩니다.

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그렇다면 이제 이전 포아송분포 포스팅에서처럼 모수(Parameter)를 알아볼까요?

모수는 베르누이분포와 이항분포의 차이를 이해하는 데에도 큰 도움이 됩니다.

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우선 베르누이분포의 모수는 베르누이시행의 성공률 p 하나 뿐이며

그 기댓값과 분산은 각각 p 그리고 pq 로 정의할 수 있습니다.

베르누이분포와 관련된 문제는 거의 모수와 기댓값, 분산을 활용하여

문제가 의미하는 바를 수식으로 세워서 그대로 대입해주면 풀 수 있습니다.

따라서 위 수식을 제대로 이해하시는 것이 아주 중요하다고 말씀드리고 싶어요.

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이제 이항분포의 모수에 대해서 알아보자면

이항분포의 경우에는 성공률 p 뿐만 아니라

시행횟수인 n 역시도 포함되어야 합니다.

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즉, 베르누이 분포는 각 베르누이 시행들의 확률에 대한 분포가 되며,

이항 분포는 베르누이 시행을 n번 했을 때 전체 경우의 확률에 대한 분포가 되는 것이죠.

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두 분포의 차이점을 제대로 이해하는 것도 이산확률분포를 이해하는 데 매우 중요합니다.

비슷한 듯 보이지만 위 확률질량함수에서도 보았듯이 엄연히 다른 개념에 속하거든요.

이상으로 이산확률분포에서 아주 중요한 개념,

베르누이시행, 베르누이분포, 이항분포에 대한

포스팅을 마무리짓도록 하겠습니다.