동전 앞뒤 확률 - dongjeon apdwi hwaglyul

늘 그렇듯이 잘못된 가설과 이상한 전개 그리고 황당한 결론.

로또 복권 전문가들은 다음과 같은 방법으로 로또 복권 숫자를 맞춘다로 한다.
지금까지 추첨 번호를 분석해서,
자주 나오는 번호는 다음번에도 나올 확률이 크다.
지금까지 나오지 않은 번호는 이번에 나올 확률이 크다.
물론 수학자는 펄쩍 뛰며 부정한다.
로또 복권은 매추첨 마다 확률로 번호가 결정되며, 이전에 한 추점과 앞으로 하는
추첨과는 아무런 연결 고리가 없기 때문에 번호를 예측하는 것은 불가능하다.
라는 논리를 편다.
누구 주장이 맞는가?

(사고실험 #6 동전 던지기)
동전던지기는 대표적인 확률게임이다.
예를 들어 컴퓨터를 상대로 하는 동전던지기 게임에서 우리는 돈을 딸 수가 있는가?
한가지 방법은 이미 알려져 있다.
게임에서 돈을 잃으면 더 많은 돈을 걸어서 이전 게임에서 잃은 돈을 만회하는
방법이다.
이 물타기 수법은 우리가 연속해서 계속 돈을 잃을 확률이 매우 낮다는 원리를
이용한 것이다. 그러나 이 물타기 수법으로 주식이나 도박판에서 패가망신한
사람들이 많으므로 절대 추천할 만 한 방법은 아니므로 우리는 항상 동일한
금액의 돈을 건다고 하자.

도박사 : 동전을 100번 던질 때 앞뒤 각 50번이 나올 확률이 가장 크기 때문에
미래는 예측 가능하다.
수학자 : 동전던지기를 계속한다면 정규분포 곡선을 이룰것이고, 앞면이 정확하게
50번이 나올 확률은 8%정도에 불과하다. 그러므로 50번이 안나올 확률이 92%나
되므로 미래는 예측 불가능하다.
도박사 : 만약에 동전을 99번 던져서 앞이 나온 숫자가 50번이 안된다면
당연히 100번째는 앞이 나온다에 돈을 걸어야 한다.
수학자 : 동전은 자신에게 일어난 과거의 사건을 기억하지 못한다.
도박사 : 동전은 비록 자신의 과거를 기억하지 못할지 모르나 사람은 기억하고 있다.

과거에 일어난 사건은 통계적으로 분석이 가능하지만, 왜 미래에 일어날 사건은
통계적으로 분석하지 못하는가?
동전을 100번 던지는 것과 동전 100개를 한번에 던지는 것은 동일한 효과를 가진다.
이때 앞뒤가 각각 50번이 나올 확률이 가장 큰 것은 사실이다.
따라서 도박사의 주장에 일리가 있어 보인다. 그러나 각각의 동전들은 서로 연관관계가
없다. 따라서 수학자의 주장도 맞다.
우리는 동전 100개를 던진후 그것들을 크기가 다른 여러개의 그룹으로 나눌수 있다.
그리고 각각의 그룹의 동전숫자를 분석해 보면 어떤 그룹이나 대체로 앞뒤가 각각 50%
정도의 숫자를 이룸을 알 수 가 있다.
그러나, 그룹의 크기가 커지면 커질수록 앞뒤의 숫자가 정규분포 곡선을 이루며 다양해
지게 된다.
통계적으로 분석하려면 그룹의 크기가 커야하지만, 그룹의 크기가 커질수록 점점 경우의
수가 많아지므로 앞뒤 숫자는 점점 불확실해져 버리고, 각각의 동전이 앞이냐 뒤냐의
의미는 작아지게 된다. 다시 말해 그룹과 그룹은 서로 비교 분석이 가능하지만
개별적으로는 앞이냐 뒤냐의 여부는 분석이 불가능하다는 것이다.

만약에 도박사와 수학자가 동전던지기로 내기를 한다고 할때 누가 이길까?
물론 나라면 도박사가 이기는쪽으로 내기를 걸겠다.

ㅇ 동전 던지기

동전이 있다. 앞면과 뒷면이 있다.

던져서 동전이 똑바로 서는 경우도 있겠지만, 이런 경우는 없다고 가정하자.

그러면 앞면이 나오거나, 뒷면만 나올것이다.

던져서 앞면이 나올 확률은 1/2이다.

뒷면이 나올 확률은 전체 확률 1에서 앞면이 나올 확률을 뺀 것, 즉 1 - 1/2 = 1/2 이다.

ㅇ 앞면이 나오는 횟수

동전을 5번 연속해서 던져본다.

앞면이 1번 나오면, 나머지는 당연히 뒷면이 4개 나올 것이다.

반대로 앞면이 4번 나오면, 뒷면은 1번 나올 것이다.

이제, 동전의 앞면이 몇 번 나올지 그 확률을 계산해 보자.

ㅇ 극단적인 경우

동전을 10번 던진다고 하자.

앞면이 10번 다 나오거나, 0번, 즉 한 번도 나오지 않는 경우도 있을까?

이런 일은 극히 드물게 일어나지만, 일어나는 경우도 있다.

이는 마치, 내가 로또를 샀는데, 당첨되는 일과 마찬가지다.

극히 드물게 일어나지만, 어쨌든 일어난다.

ㅇ 동전 앞면이 나오는 경우

          동전을 또 10번 던진다고 하자.

10번 다 앞면이 나오는 경우와 5번만 앞면이 나오는 경우를 생각해보자.

상식적으로 생각했을 때, 5번만 앞면이 나오는 경우가 훨씬 발생할 가능성이 많을 것이다.

5번이 나오는 경우를 생각해 보자.

가장 쉽게, 던지자마자, 5번 연속해서 앞면이 나오고, 그 다음 5번은 줄기차게 뒷 면만 나오는 경우가 있다.

또는 그 반대의 경우 뒷면만 5번 연속해서 나오고, 그 다음은 쭉 앞면.

일반적으로는 앞면과 뒷면이 막 섞여서 나오는 경우가 대부분일 것이다.

ㅇ 앞면이 나올 확률

동전을 1번만 던진다고 하자.

앞면이 1번 나올 확률은 얼마인가? 생각할 필요도 없이 1/2이다.

동전을 2번 던진다고 하자.

앞면이 1번 나올 확률은 얼마인가? 이건 좀 생각해 봐야한다.

우선 나타날 수 있는 모든 경우의 수를 생각해 보자.

총 4가지 경우를 생각할 수 있다.

앞앞, 앞뒤, 뒤앞, 뒤뒤

이 중에서 1번 앞면이 나올 확률은 2가지다.

앞뒤, 뒤앞.

따라서 2번 던져, 1번 앞면이 나올 확률은 2/4 = 1/2이다.

앞면이 0번 나올 확률은 얼마인가?

1/4이다.

앞면이 2번 나올 확률은 얼마인가?

1/4이다.

동전을 3번 던진다고 하자.

앞앞앞, 앞앞뒤, 앞뒤앞, 앞뒤뒤, 뒤앞앞, 뒤앞위, 뒤뒤앞, 뒤뒤뒤

앞면이 1번 나올 확률은 얼마인가?

앞면 1번은 3번 나온다. 확률은 3/8

ㅇ 쉽게 계산해보자. 앞면이 나올 확률

동전을 10번 던져보자.

이 중에서 앞면이 5번 나오는 경우를 생각해보자.

앞면이 5번이 나오는데, 처음에 연속해서 나올 확률은 얼마인가?

(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1-1/2)(1-1/2)(1-1/2)(1-1/2)(1-1/2)

나중에 몰아서 연속해서 나올 확률은 얼마인가?

(1-1/2)(1-1/2)(1-1/2)(1-1/2)(1-1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)(1/2)

순서는 상관없이,

10번중 앞면이 5번 나오는 경우는 모두 몇 번 일어나는가?

조합 (combination)으로 계산하면 된다.

10C5 = 10!/ 5! (10-5)!

따라서 확률은 10C5 * (1/2)^10

ㅇ Binomial distribution

이러한 동전던지기와 관련된 확률을 계산하는 것이다.

Bin (n, p).

n은 시도하는 전체 횟수

p는 원하는 일이 발생할 확률

원하는 일이 n번중 x번 발생할 확률 계산은

nCx * p^x * (1-p)^(n-x)

ㅇ 동전을 20번 던졌을 때, 앞면이 나올 확률 그래프.

x축은 앞면이 나올 횟수

y축은 해당하는 확률

20번 중 10번 앞면이 나올 확률이 가장 크다.

`

ㅇ 던지는 회수가 늘어날 때, 앞면이 10번 나올 확률 그래프.

동전던지는 총 회수에 따른 확률

x축은 동전던지는 회수

총20번 던졌을 때, 10번 앞면이 나올 확률이 제일 높다.

ㅇ 불량동전 던지기

불량동전이라서 앞면이 나올 확률이 1/2이 아니다.

20번 던졌을 때, 10번 앞면이 나올 확률을 계산하자.

x축은 동전 앞면이 나올 확률.

재미있는 사실. 앞면이 나올 확률이 1.0이 되면, 20번 중에 앞면이 10번 나올 확률은 0이 된다.

이유는, 20번 다 앞면이 나오기 때문에.

동전 던지기 어떻게 하는 거야?

동전 어디가 앞면?