<미분방정식>
y는 하나의 변수 x의 함수라 하자.
n이 고정된 양의 정수라 할 때
x, y, y', y", …, y(n)를 포함하는 방정식을
n계 상미분방정식(ordinary differential equation of order n)이라 부른다.
앞으로 다룰 미분방정식에서는
편도함수가 포함되지 않으므로
수식어 '상'을 생략하기로 한다.
<지수모형>
미분방정식에서 가장 간단한 형태 중의 하나는
다음과 같이 주어지는 일계 미분방정식이다.
여기서 k는 실수이다.
위 미분방정식은 지수적으로 성장하거나 쇠퇴를 보이는
양의 변화를 모형화하는 데 사용되고 있으며,
임의의 시간 t일 때의 양의 변화율은
시간 t일 때의 양의 크기에 직접 비례한다는
가정에 기반하고 있다.
y=f(t) 형태의 해(solution)는 앞의 미분방정식에서
y 대신에 대입했을 때 등식을 만족시키는 함수이다.
위 식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
독립변수에 대해 양변을 적분하면
y에 대해 풀면 다음과 같다.
여기서 C는 임의의 상수이다.
그러므로 이 해는 미분방정식을 만족시키는
함수 군을 형성한다.
k=3이라면 해는 y(t)=Ce3t가 된다.
이를 y'=3y의 일반해(general solution)라 부른다.
경우에 따라서는 물리적 제약으로 인해
해에 어떤 조건이 부과된다.
이를 만족시키는 특수해(particular solution)를 찾아야 할 때도 있다.
t=0일 때 y=2여야 한다면
주어진 일반해로부터 상수 C의 값을 구할 수 있다.
이때 주어진 조건을 초기조건(initial condition)이라 부른다.
초기조건이 있는 미분방정식 문제를
초기값 문제(initial-value problem)라 부른다.
선형대수의 측면에서 보면
미분방정식 y'=ky의 일반해는
R상에서 벡터 ekt가 생성하는 공간,
즉 실직선상의 미분가능함수가 이루는
벡터공간의 일차원 부분공간으로 생각할 수 있다.
<상수계수를 갖는 이계 미분방정식>
일계 미분방정식을 이계로 확장한
다음 형태의 미분방정식을 고려한다.
지수모형에서 찾은 해와 같은 형태의 해가
위 이계 미분방정식에도 존재하는지 검토하기 위해
y=erx(r은 실수)를 시도하자.
일차도함수와 이차도함수를 계산하여
위 미분방정식에 대입하고 정리한다.
모든 r과 x에 대해 erx>0이므로
erx이 y"+ay'+by=0의 해가 되는 필요충분조건은
이 식을 보조방정식(auxiliary equation)이라 부른다.
이 식은 이차방정식이므로
근 r₁과 r₂는 아래의 세 가지 경우로 발생한다.
이에 따라 미분방정식의 해도 세 가지 형태로 발생한다.
경우 1
근 r₁과 r₂는 실수이고 서로 다르다.
이 경우 다음의 두 해가 존재한다.
경우 2
한 개의 중근 r을 갖는다.
이 경우 보조방정식은 단지 한 개의 근을 갖지만,
미분방정식은 다음과 같이
두 개의 서로 다른 해를 갖는다.
경우 3
서로 다른 (켤레) 복소수 r₁=α+βi와 r₂=α-βi를 갖는다.
이 경우 미분방정식의 해는 다음과 같다.
다음은 이계 미분방정식의 해에 대한
존재성과 유일성에 관한 정리이다.
다음에 이 내용들을 바탕으로
추가적인 개념들과 문제들을 살펴볼 것이다.