법선벡터 평면의 방정식 - beobseonbegteo pyeongmyeon-ui bangjeongsig

평면의 방정식이란? 평면 위에 존재하는 점 A(x1, y1, z1) 그리고 평면의 법선 벡터가 h->(a, b, c) 일 때 평면의 방정식은 ax + by + cz + d = 0이다. [여기서 d는 원점과의 거리이다.]

평면의 법선 벡터 N(a, b, c)가 있고 평면 위의 한 점 P(d, e, f)가 있을 때 평면 위에 있는 임의의 점 Q(g, h, i)라 가정 했을 때 Q - P 는 평면 위의 벡터가 되며, 법선 벡터와 수직이니 법선 벡터와 내적은 0이 된다.

 

01. 평면의 방정식을 시작하며…

 

 

 

 

02. 평면의 벡터 방정식  

 

 

03. 평면의 방정식

 

  

04. 두 평면의 사이의 관계 

 

 

 

05.  점과 평면 사이의 거리   

 

  

 

 

 

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평면 방정식의 법선 벡터

2017, Feb 05    

출처 : 칸 아카데미 선형대수학 (//ko.khanacademy.org/math/linear-algebra/vectors-and-spaces)

• 선형대수학 전체 글 목록

• 이번 글에서는 평면방정식의 법선벡터에 대하여 알아보도록 하겠습니다.
• 이번 글에서는 평면 방정식 \(Ax + By + Cz = D\) 가 있을 때, 이 평면에 Normal한 법선 벡터의 식을 유도합니다.
  • 법선 벡터 \(\vec{n} = A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}\) 입니다.

• 위 슬라이드와 같이 공간상에 노란색 평면이 있다고 가정하겠습니다.
• 평면 상에 노란색 점과 초록색 점이 존재한다고 가정하겠습니다.
  • 노란색 점 \((x, y, z)\)과 초록색 점 \((x_{P}, y_{P}, z_{P})\)을 원점과 연결하여 벡터 2개를 위 슬라이드 처럼 만듭니다.
  • 노란색 벡터 \(\vec{P} = x\hat{i} + y\hat{j} + z\hat{k}\)
  • 초록색 벡터 \(\vec{P_{1}} = x_{P}\hat{i} + y_{P}\hat{j} + z_{P}\hat{k}\)
• 노란색 점과 초록색 점을 이은 벡터는 평면 상에 존재 하게 됩니다.
  • 하늘색 벡터 \(\vec{P} - \vec{P_{1}}\)는 평면상에 존재합니다.
• 평면과 수직인 보라색 법선 벡터 \(\vec{n} = a\hat{i} + b\hat{j} + c\hat{k}\) 라고 하겠습니다.

• 평면상의 하늘색 벡터와 법선 벡터는 직교하므로 내적은 0이 되어야 합니다.
• 하늘색 벡터 \(\vec{P} - \vec{P_{1}} = (x - x_{P})\hat{i} + (y - y_{P})\hat{j} + (z - z_{P})\hat{k}\)
• ·\(\vec{n} \cdot (\vec{P} - \vec{P_{1}}) = ax - ax_{P} + by - by_{P} + cz - cz_{P} = 0\)
  • 하늘색 벡터와 보라색 법선 벡터를 내적합니다.
• ·\(ax + by + cz = ax_{P} + by_{P} + cz_{P}\)
  • 두 벡터의 내적한 결과의 좌변과 우변이 x, y, z 각각에 대응 되도록 정리합니다.
• 평면의 방정식이 \(Ax + By + Cz = D\) 이므로 위 식과 대응해서 보면
  • a와 A, b와 B, c와 C 그리고 우변 전체(\(ax_{P} + by_{P} + cz_{P}\))와 D를 대응할 수 있습니다.
• 따라서 어떤 평면의 방정식이 주어진다면 그에 수직인 법선 벡터는 \(\vec{n} = A\hat{i} + B\hat{j} + C\hat{k}\) 임을 알 수 있습니다.
  • 즉 계수만 뽑아내면 식을 정의할 수 있습니다.
• 평면 방정식의 D는 면을 이동시키기는 하지만 면의 기울기에는 영향을 미치지 않습니다.
  • 따라서 법선 벡터를 정의하는 데 전혀 영향을 끼치지 않으므로 어떤 값이 있더라도 상관 없습니다.
• 그래프 아래에 보면 간단한 예제가 있으니 참조하시면 됩니다.

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# Linear algebra # 선형대수학 # 벡터 # 내적 # 외적 # 삼중적

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여기서 symmetric form은 엄밀하게 보자면 매개변수방정식이 아니라 미지수가 3개인 두 개의 방정식입니다. (이것이 우리가 잘 알고 있는 고등학교 기하와 벡터시간에 배운 직선의 방정식 형태입니다.)

따라서 우리는 [3.3]에서 직선을 매개변수방정식과 매개변수방정식이 아닌 방정식으로 두 가지 형태의 방정식으로 표현하였습니다.

평면 역시 마찬가지입니다. 평면 역시 직선과 마찬가지로 매개변수방정식의 형태와 매개변수 방정식이 아닌 형태, 두 가지 형태로 표현할 수 있습니다.

우리는 이 두가지 형태로 표현하는 방법을 배워 보겠습니다.

다만, 직선 때와는 달리 평면의 경우에는 매개변수 방정식이 아닌 방정식의 형태로 표현하는 걸 배우고 나서 매개변수 방정식으로 표현하는 방법을 배울 것입니다.

이제 본격적으로 평면을 매개변수방정식이 아닌 방정식의 형태로 표현해보겠습니다. (기하와 벡터시간에 다 배운 내용입니다.)

표현하기 이전에 미리 결과적으로 말씀드리자면 직선의 방정식은 두개의 방정식으로 연립해서 표현해야하는 방면 평면의 방정식은 정말로 깔끔하게 연립 없이 하나의 방정식으로도 표현할 수 있습니다. 그렇기 때문에 평면의 방정식이라는 것은 직선의 방정식보다 상당히 쉽습니다.

평면의 방정식을 유도하기 위해 필수적으로 알아야 하는 것이 두가지가 있습니다.

하나는 그 평면을 지나는 점 P0(x0, y0, z0)를 적어도 하나 알아야 합니다.

또 다른 하나는 그 평면에 수직인 법선벡터

를 알아야 합니다.

이 두가지만 안다면 기하학적으로 유일한 하나의 평면이 결정됩니다. (중고등학교 때 배웠죠? 평면의 결정조건)

우리는 여기서 결정된 평면 위의 임의의 한 점 P(x, y, z)에 대해서 기하학적인 성질에 따라 벡터

와 법선벡터 는 항상 수직합니다. (평면에 수직한 직선과 평면 위의 직선은 무조건 수직하다는 사실 역시 우리는 중고등학교 때 배웠습니다.)

그러나 우리는 기하학적으로도 직관적으로도 역도 성립합니다. 이 말이 무엇이냐?

벡터

와 법선벡터 가 수직하게 하는 점 P(x, y, z)가 만들어내는 자취는 항상 "앞에서 언급된 평면"과 일치하다는 사실을요. ([3.1]에서도 언급했다시피 벡터는 시작점이 어느점이어도 같은 벡터입니다. 따라서 법선벡터의 시작점을 P0라고 잡고 여러분이 한번 머릿 속 도화지에다가 점 P의 자취를 그려보십시오. 너무나 당연한 이야기입니다.)

따라서 수식적으로 표현하자면 아래와 같습니다.

위의 식 [1]을 만족하는 점 P는 모조리 평면 위의 점이 되고 평면 위의 점은 모조리 위의 식 [1]을 만족하므로 위의 식 [1]은 곧 평면의 방정식이 됩니다.

위의 식 [1]에서 내적을 계산하고

이라는 사실을 이용해서 미지수 x, y, z로 표현하면 다음과 같습니다.

위의 식 [2] 사실을 통해 평면의 방정식을 매개변수방정식이 아닌 방정식 1개로 표현할 수 있게 되었습니다.

여기서 더 나아가서 [2]의 식을 깔끔하게 정리하자면 Ax+By+Cz=D, D=Ax0+By0+Cz0로 표현할 수 있습니다.

우리가 이를 통해 알 수 있는 사실은 점 P0(x0, y0, z0)를 지나고 법선벡터

인 평면의 방정식을 표현하고자 한다면 그 형태는 A'x+B'y+C'z=D'이 될 것이고 여기서 x의 계수 A'은 법선벡터의 성분 A가 되고, y의 계수 B'은 법선벡터의 성분 B가 되고, z의 계수 C'은 법선벡터의 성분 C가 되고, D'은 단지 좌변에다가 P0를 대입하면 나오기 때문에 아주 손쉽게 A', B', C', D'을 구할 수 있어서 평면의 방정식은 쉽게 구할 수 있게 됩니다.

직선의 방정식을 구하기 위해서는 직선 위의 한 점과 직선에 평행한 방향벡터가 필요하지만 평면의 방정식을 구하기 위해서는 평면 위의 한 점과 평면에 수직인 법선벡터가 필요하다는 점을 명심하십시오.

이제 본격적으로 평면의 방정식에 관련된 문제들을 풀어봅시다.

Ex 1.

법선벡터가

이고 (3, 2, 1)을 지나는 평면의 방정식을 구하시오.

Ax+By+Cz=D라는 평면의 방정식 형태에서 우리는 아주 손쉽게 A=2, B=-1, C=4임을 알 수 있다.

따라서 D는 좌변에 (3, 2, 1)을 집어넣으면 자동적으로 나오므로

D= 2(3)-1(2)+4(1)=8

따라서 2x-y+4z=8이다.

역으로 평면의 방정식을 통해서 이 평면이 어떠한 기하학적인 특성을 갖고 있는지도 알 수 있습니다. 아래의 문제를 보시죠.

Ex 2.

7x+2y-3z=1이라는 평면에 수직하는 벡터 하나를 구하고 평면 위의 세 점을 구해보시오.

우리는 아주 손쉽게 법선벡터가 (7, 2, -3)임을 알 수 있다.

물론 법선벡터에 스칼라곱을 해도 상관없다. (물론 0배는 제외.)

그리고 x=y=0일 때 (0, 0, -1/3), y=z=0을 대입할 때 (1/7, 0, 0), x=z=0을 대입할 때 (0, 1/2, 0)가 평면의 방정식을 만족하므로 평면 위의 세점을 쉽게 구할 수 있다.

만약에 평면 위의 한 점과 법선벡터가 주어지지 않고 다른 조건이 주어져 있을 때 평면의 방정식은 어떻게 구할 수 있을까요? 다음의 문제를 보시죠.

Ex 3.

세 점 P0(1, 2, 0), P1(3, 1, 2), P2(0, 1, 1)을 지나는 평면의 방정식을 구하시오.

먼저 세 점 P0, P1, P2가 한 직선위에 있는가 있지 않는가에 대해서 검증해 볼 필요가 있다.

만약 세 점 P0, P1, P2가 한 직선 위에 있으면 벡터

와 벡터 는 기하적으로 평행해야하므로 아래의 식을 만족하는 0이 아닌 실수 k가 존재해야 한다.

실제로 벡터

는 (2, -1, 2)이고 벡터 는 (-1, -1, 1)이므로 위의 식을 만족하는 k는 존재하지 않는다.

따라서 세 점 P0, P1, P2는 한 직선 위에 있지 않다.

따라서 중고등학교 때 배운 평면의 기하적인 성질에 의해 한 직선 위에 있지 않은 세 점을 지나는 평면은 유일하다.

그렇다면 이 평면은 어떻게 구할 수 있을까?

두가지 방법으로 평면의 방정식을 구할 수 있다.

첫 번째 방법은 평면의 방정식 Ax+By+Cz=D 형태에서 세 점 P0, P1, P2를 대입하는 방법이다.

(선형대수학개론에 대해서 알아야지 이해할 수 있을 것이다.)

이 방법에 따르면 아래와 같은 네 개의 미지수 A, B, C, D로 이루어진 3개의 선형방정식으로 구성되어진다.

이 선형방정식계를 풀기 위해서 우리는 선형대수학개론 카테고리 [2.1]에서 배웠던 "가우스 조르단 소거법"을 이용한다.

안타깝게도 미지수가 4개이고 방정식이 3개인 동차선형방정식계이므로 [2.2]의 Thm 2.2.1.3에 의해 해는 무한히 많다. 따라서 자유변수가 존재한다.

실제로 저 동차선형방정식계를 가우스 조르단 소거법으로 풀면 다음과 같이 된다.

A, B, C가 선행변수가 되고 D가 자유변수가 되므로 D=t로 잡으면 A=-1/7t, B=4/7t, C=3/7t가 된다.

따라서 평면의 방정식은 -1/7tx+4/7ty+3/7tz=t가 된다. 여기서 t=0이면 0=0이 되어 평면의 방정식이 되지 못하므로 t≠0이어야 한다.

따라서 양변을 t로 나눌 수 있으며 나누어서 정리하면 평면의 방정식은 x-4y-3z=-7이 된다. 

첫 번째 방법은 "가우스 조르단 소거법"에 대해서 알아야지 풀 수 있을 뿐더러 계산 과정이 상당히 길다.

따라서 이번에는 계산 과정이 복잡하지 않으면서도 선형대수학개론 카테고리를 접하지 않더라도 풀 수 있는 방법을 설명하겠다.

두 번째 방법은 외적을 이용해 평면의 법선벡터를 구하는 방법이다.

간단하게 평면의 법선벡터는 그 평면 위의 평행하지 않는 두 직선벡터 직교한다. 역으로 어떤 벡터가 그 평면 위의 평행하지 않는 두 직선 벡터에 직교하면 반드시 그 어떤 벡터는 평면의 법선벡터가 된다.

즉, 평행하지 않는 평면 위의 두 벡터

와 의 외적벡터는 반드시 평면의 법선벡터가 된다.

(물론 꼭

와 만을 외적해야할 필요는 없다. 세점 P0, P1, P2를 이용해서 만들 수 있는 임의의 평행하지 않는 두 벡터를 고려해서 그들을 외적하더라도 상관없다.)

기존에 이미 두 벡터

와 의 성분을 구해놓았으므로 막바로 외적을 계산하면 다음과 같이 된다.

따라서 법선벡터와 평면 위의 한 점 P0를 통해 아래와 같은 평면의 방정식을 유도할 수 있다. (이는 Ex 1. 문제의 형태가 된다. 물론 여기서 평면 위의 한점은 P0로 잡아도 좋고, P1, P2로 잡아도 좋다.)

x-4y-3z=-7.

이번에는 두 평면의 교선의 방정식을 구하는 문제를 해결해보자.

Ex 4.

두 평면 2x+y+3z=-7, x-2y+z=4의 교선의 방정식을 구하시오.

먼저 두 평면의 위치관계를 검증해 볼 필요가 있다.

2x+y+3z=-7의 법선벡터는 (2, 1, 3)이며, x-2y+z=4의 법선벡터는 (1, -2, 1)이므로 두 벡터는 서로 평행하지 않다.

​

따라서 두 평면 역시 겹치거나 평행하지 않다. (공간지각능력을 총동원하라!)

​

결국 두 평면은 만나며 유일한 교선이 생긴다. (두 평면 사이의 위치관계에 대해서 머릿속에 생각을 해보시라.)

​

​그렇다면 이 유일한 교선은 어떻게 구할 수 있을까?

두가지 방법으로 교선의 방정식을 구할 수 있다.

첫 번째 방법은 두 평면의 방정식을 연립해서 Ex 3.의 첫번째 방법처럼 가우스 조르단 소거법을 이용하는 방법이다.

(선형대수학개론에 대해서 알아야지 이해할 수 있을 것이다.)

이 방법에 따르면 아래와 같은 세 개의 미지수 x, y, z로 이루어진 2개의 선형방정식으로 구성되어진다.

위의 선형방정식계를 만족하는 값들의 모두 교선 위의 점이 된다.

​

따라서 위의 선형방정식계의 해는 무한히 많다. (기하학적으로)

​

Ex 3.의 첫번째 방법대로 가우스 조르단 소거법을 통해서 선행변수와 자유변수를 잡고 자유변수를 t로 잡아서 x, y, z를 모조리 t에 대해서 표현하면 쉽게 직선에 대한 매개변수방정식을 구할 수 있다.

​

그러나 이 방법은 선형대수학개론의 "가우스 조르단 소거법"에 대해서 알아야 하기 때문에 자세하게 다루진 않겠다.

​

​

두 번째 방법은 교선 위의 한 점과 교선의 방향벡터를 구해서 교선의 방정식을 구하는 방법이다.

​

교선 위의 한 점을 구하기 위해서 먼저 첫 번째 방법에서 세워놓았던 선형방정식 2개로 구성된 선형방정식계의 어느 특정 해를 아무거나 고르면 된다.

​

​

​

즉, 위의 선형방정식계를 만족하는 (x, y, z)를 하나만 찾으면 된다. 쉽게 찾기 위해 z=0이라고 잡자. 그렇다면 아래와 같이 선형방정식계는 바뀐다.

​

​

​

이는 중학교 과정에서 배웠던 연립일차방정식이므로 쉽게 x=-2, y=-3을 구할 수 있다.

​

따라서 (-2, -3, 0)을 교선 위의 한 점으로 잡을 수 있다.

이번에는 교선의 방향벡터를 구해보자.

​

교선은 다시 말해서 두 평면이 만나는 선이므로 교선은 두 평면 위에 동시에 존재하는 선이다.

​

따라서 두 평면의 법선 벡터는 두 평면 위에 동시에 존재하는 교선에 수직해야만 한다. (한 평면의 법선벡터는 한 평면 위의 임의의 한 벡터에 대해서 수직해야만 하므로)

​

​따라서 두 평면의 법선 벡터의 외적벡터와 교선의 방향벡터는 서로 평행하다.

​

결국 두 평면의 법선 벡터의 외적벡터의 스칼라곱(물론 0배는 제외)한 것이 교선의 방향벡터가 되어야 하지만 스칼라곱을 하지 않더라도 교선의 방정식에는 아무런 영향을 주지 않으므로 두 평면의 법선 벡터의 외적벡터를 교선의 방향벡터로 잡아보자.

​

두 평면의 법선벡터가 각각 (1, -2, 1)이고 (2, 1, 3)이므로 이를 순서대로 외적한 벡터는 (-7, -1, 5)가 된다.

​

따라서 교선의 방향벡터는 (-7, -1, 5)로 잡으면 된다.

​

따라서 교선 위의 한 점 (-2, -3, 0)과 방향벡터 (-7, -1, 5)인 교선의 매개변수방정식은 [3.3]의 [1]에 의해 다음과 같이 표현된다.

​

​

삼차원 상의 평면의 방정식 (2)

이번에는 평면의 방정식을 매개변수방정식이 아닌 단 하나의 방정식(Ax+By+Cz=D)으로 표현하지 말고 매개변수를 이용해서 매개변수방정식으로 표현해봅시다.

먼저 문제를 간단화시키기 위해 원점을 지나는 평면을 예로 들어봅시다.

이 때 시작점을 원점으로 하는 평면 위의 두 벡터

, 를 잡아봅시다. 물론 여기서 두 벡터 , 는 평행하지 않아야 합니다. (선형대수학개론에서는 이를 선형독립하다고 말합니다.)

그렇다면 평면 위의 임의의 점 P의 위치벡터는 두 벡터

, 에 의해서 어떻게 표현되어질까요?

아래의 사진을 보시죠.

(Vector Calculus, Pearson Custom Publishing, pg 43)

위의 사진을 보시면 아시겠지만 점 P의 위치벡터는 어떤 두 실수 s, t에 대해서 아래와 같이 반드시 표현되어질 수 있다는 것을 알 수 있습니다.

...(ㄱ)

역으로 임의의 두 실수 s, t에 대해서 점 P의 위치벡터의 식이 위를 만족할 때 점 P가 그리는 자취는 원점을 지나고 두 벡터

, 에 의해 결정되는 평면이 된다는 것도 받아들일 수 있습니다. (너무 당연한 이야기입니다.)

이는 다시 말해서 아래의 집합은 원점을 지나고 두 벡터

, 에 의해 결정되는 평면과 정확히 일치한다는 이야기와 같습니다.

(선형대수학을 배우셨으면 아시겠지만 span이라는 개념이 현재 다루고 있는 내용과 깊은 연관성이 있습니다.)

그렇다면 이번에는 원점을 지나지 않는 평면의 경우에는 평면의 방정식을 어떻게 표현하면 될까요?

이 때는 원점 역할을 할 벡터

를 도입하기만 하면 됩니다.

우리가 표현하고자하는 평면의 한 점 P0를 잡고 그 P0의 위치벡터

를 벡터 로 봅시다.

그다음 벡터

의 끝점, 다시 말해서 점 P0를 시작점으로 하는 평면 위의 두 벡터 , 를 잡아봅시다. 물론 여기서 두 벡터 , 는 평행하지 않아야 합니다.

그렇다면 원점을 지나지 않는 평면 위의 임의의 점 P의 위치벡터는 아래와 같이 표현 가능하다는 것을 쉽게 알 수 있습니다.

((ㄱ)식을 유도하던대로 유도하시면 됩니다. 별로 어렵지 않습니다.)

따라서 이 때도 역으로 임의의 두 실수 s, t에 대해서 점 P의 위치벡터의 식이 위를 만족할 때 점 P가 그리는 자취는 점 P0를 지나고 두 벡터

, 에 의해 결정되는 평면이 된다는 것도 받아들일 수 있습니다. (너무 당연한 이야기입니다.)

(선형대수학을 배우셨으면 아시겠지만 linear manifold, flats, affine space라는 개념이 현재 다루고 있는 내용과 깊은 연관성이 있습니다.)

결국 결론적으로 무슨 평면이든지 간에 평면의 방정식은 매개변수 s, t를 통해 매개변수 방정식으로 표현할 수 있게 됩니다.

(직선의 방정식에서는 매개변수가 1개가 필요하지만 평면의 방정식에서는 매개변수가 2개 필요합니다.)

 [3] 평면의 방정식 (매개변수방정식)

 점 P0를 지나고 두 벡터

, 에 평행한(혹은 포함하는) 평면의 매개변수방정식은 아래와 같다.

 (여기서 두 벡터

, 는 영벡터가 되어서는 안되고 서로 평행해서는 안되며 점 P0의 위치벡터를 벡터 라고 보자.)

[3]을 x, y, z에 대해서 풀어쓰면 매개변수방정식은 다음과 같이 표현되어질 수 있습니다.

우리는 지금까지 평면의 방정식을 두가지 방식으로 표현해보았습니다.

첫 번째 방식은 고등학교 기하와 벡터에서 배웠던 방식으로 매개변수를 이용하지 않고 하나의 방정식으로 표현하는 방식이었습니다. 

이 방식은 평면 위의 점 P0의 위치벡터와 평면의 법선벡터를 이용하였습니다.

두 번째 방식은 매개변수방정식으로 표현하는 방식으로 두 개의 매개변수 s, t를 이용하여 표현하는 방식입니다.

이 방식은 평면 위의 점 P0의 위치벡터와 평면에 평행하는 두 벡터(물론 두 벡터는 서로 평행하지 않으며 영벡터가 아니어야 합니다.)를 이용하였습니다. 이 점이 첫 번째 방식과 근본적으로 다른 점이었습니다.

이제 평면의 매개변수방정식을 이용하여 문제를 풀어봅시다.

Ex 5.

(1, 0, -1)을 지나고 두 벡터

, 2i+5j+2k에 평행한(혹은 포함하는) 평면의 매개변수방정식을 구하시오.

​[4]를 의해 다음과 같다. (물론 여기서 먼저 두 벡터

, 가 평행한 벡터가 아니라는 사실을 보여야 한다. 이는 자명하게 아님을 알 수 있다.)

x=3s+2t+1

y=5t

z=-s+2t-1

Ex 6.

(3, -1, 2)를 지나고 법선벡터가

인 평면의 매개변수방정식을 구하시오.

두 가지 방식으로 문제를 풀 수 있다.

첫 번째는 평면에 평행하는(혹은 포함하는) 두 벡터를 구해서 평면의 매개변수방정식을 구하는 방법이다. (여기서 두 벡터는 임의로 잡아도 상관없으며 단지 그 두 벡터가 서로 평행하지만 않으면 된다.)

이 방법을 쓰기 위해 평면의 법선벡터

에 수직하기만 하면 평행하는(혹은 포함하는) 벡터가 된다는 사실을 이용해보자.

그렇다면 단지

에 내적했을 때 0이 되게하는 벡터를 여러분이 아무거나 생각하셔서 평행하지 않는 두 벡터를 골라주기만 하면 끝난다.

예를 들어서,

라던가 는 와 내적했을 때 0이 된다. 따라서 우리는 , 를 평면에 평행하는(혹은 포함하는) 두 벡터로 잡으면 된다. 물론 두 벡터는 평행하지 않다.

(

, 를 추론하는 과정은 전적으로 "찍기"신공을 발휘해야한다. 물론 두 벡터는 당연히 평행하지 않음도 마지막에 보여야한다.)

결국 Ex 5.문제로 회귀되므로 [4]를 이용하면 결과는 아래와 같다.

(평면의 매개변수 방정식은 꼭 아래의 형태만 되는 것이 아니기 때문에 아래 답과 다르다고 할지라도 틀린 답이 아닐 수도 있다.)

두 번째 방법은 평면의 그냥 방정식을 이용해서 매개변수방정식으로 변환하는 방법이다.

(3, -1, 2)를 지나고 법선벡터가

인 평면의 그냥 방정식은 [2]에 의해 x-y+2z=8이다.

여기서 y=s, z=t로 보면 x=s-2t+8이 된다. 벌써 답은 나왔다. (물론 x, y를 s, t로 잡거나 x, z를 s, t로 잡아도 상관없다.)

(선형대수학을 배우셨더라면 x-y+2z=8을 선형방정식계로 볼 수 있고 이 때 자유변수를 y, z로 볼 수 있으므로 y=s, z=t로 잡는 과정이 그렇게 엉뚱한 과정이 아님을 알 수 있다.)

두가지 방식대로 평면의 매개변수방정식을 구해보았다. 여기서 주의해야할 점은 같은 평면이라 할지라도 매개변수 방정식의 형태는 달라질 수 있다는 사실이다. (지금 케이스처럼 말이다.)

Ex 7.

평면의 매개변수방정식 x=3s-t+2, y=4s+t, z=s+5t+3를 평면의 방정식 Ax+By+Cz=D의 형태로 변환하시오.

[3], [4]를 역으로 이용하면 평면의 매개변수방정식 x=3s-t+2, y=4s+t, z=s+5t+3이 나타내는 평면은 (2, 0, 3)을 지나고 두 벡터

, 에 평행한(혹은 포함하는) 평면임을 알 수 있다. (물론 여기서 두 벡터 , 는 서로 평행하지 않다.)

따라서 그 평면의 법선벡터는 그 평면에 평행한 두 벡터 혹은 그 평면에 포함된 두 벡터들의 외적벡터로 볼 수 있다. (두 벡터가 서로 평행하지 않을 때에서 두 벡터가 평면에 평행하거나 혹은 두 벡터가 평면에 포함되어 있을 때 그 두 벡터에 동시에 수직한 벡터는 평면에 수직한다는 기하학적 사실이 존재한다.)