요약)
1차원에서와 달리 3차원에서는 위치에너지를 일반적으로 정의할 수 없다.
보존력이 작용하는 경우에만 3차원에서의 위치에너지를 정의할 수 있으며
보존력이 작용할 때 3차원에서 에너지가 보존된다.
1. 1차원에서의 위치에너지 정의 이해
역학적에너지 보존법칙과 위치에너지정의, 그리고 미분방정식
들어가기 전에, 역학의 목표이자 지금 듣고있는 고전역학의 목표를 생각하면 기계공학과 학생의 입장에서 4대역학의 근간이 되는 역학의 fundamental을 단단하게 다지기 위함이다. 뉴턴 제1,2,3 법��
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뉴턴 제 2법칙으로부터 1차원에서 역학적에너지 보존을 유도하는 과정에서
미분하고 (-)취하니 힘이 되는 것을 위치에너지라 정의하였습니다.
이를 적분으로 표현하면 다음과 같습니다.
이는 3차원 공간상의 기준점 1에서부터 2까지 힘이 한 일에 마이너스를 붙인 것으로 생각할 수 있고
1차원에서는 그 경로가 하나의 직선밖에 없지만 3차원에서는 그 경로가 무수히 많아 위치에너지를 정의할 수 없습니다.
2. 일단 그냥 존재한다고 가정해!
가정 ) 3차원 공간상의 한 점에 대해 하나의 값만 가지는 V가 존재한다.
이 가정을 가지고 에너지보존법칙이 가능한 경우를 계산하는데
신기하게도 에너지보존법칙이 성립할 때, V(위치에너지)도 경로에 독립하면서 V가 정의됩니다.
역학적에너지 보존법칙이 성립하기 위한 조건은 F에 관한 조건입니다.
어떤 스칼라의 그래디언트 된 힘이 작용했을 때만 역학적 에너지가 보존되며
이 힘을 우리가 가정한 위치에너지 정의의 F에 넣으면 경로에 독립함 역시 증명됩니다. 이 힘을 보존력이라고 부릅니다.
아래에 수업필기 사진을 첨부합니다.
출처) 한양대학교 KOCW 고전역학 신상진 교수님 강의
지금까지 뉴턴이 규명한 '만유인력'을 중심으로 '일'을 갖는 물체가 어떻게 '에너지'적으로 표현되는 지 알아보았다.
1. Law of Gravitation: 만유인력의 크기 공식
▼ Reference
//blog.naver.com/sortie0228/221921585808
[Mechanics] 뉴턴의 중력법칙 | Newton's Law of Gravitation
천체역학(celestial mechanics): 물리학에서의 역학의 원리를 천문학 분야에 응용해 천체의 운동을 연구...
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2. Work
▼ Reference
//blog.naver.com/sortie0228/221924130429
[Mechanics] 일과 에너지 | Work and Energy
일과 에너지energy: 물리계가 일(work)을 얼마나 할 수 있는 지를 정량적으로 표현한 값- 에너지는 직접 ...
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3. Gravitational Potential Energy(GPE)
4. Relationship between Work and GPE
▼ Reference: Gravitational PE 유도 및 일-중력 퍼텐셜에너지 관계식 의미
//blog.naver.com/sortie0228/221924570616
[Mechanics] 중력 퍼텐셜에너지 공식 유도 | Derivations of Gravitational Potential Energy
퍼텐셜에너지(potential energy): 물체가 어떤 위치에 존재함으로써 '잠재적'으로 얼마의 일...
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5. Work-Energy Theorem: Relationship between Work and Kinetic Energy(KE)
▼ Reference
//blog.naver.com/sortie0228/221926088791
[Mechanics] 일-에너지 정리 | Work-Energy Theorem
운동에너지(Kinetic Energy)외력(external force)에 의한 물체에 한 work는 물체의 변위를 만들고, 속...
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Analysis of Free Falling Objects
위의 공식들을 활용해 공기저항(air drag force)이 없는 물체의 자유낙하운동을 분석해보자.
그림 1. Free Falling Object
[1] 처음 위치와 속력, 그리고 나중 위치와 속력를 정의한다.
[2] 떨어지는 물체가 받는 유일한 힘 F는 gravitational force로 work 식에 대입하면 다음과 같이 표기할 수 있다.
[3] work-energy theorem에 따라, 움직이는 물체의 운동에너지를 구할 수 있다.
[4] 과정 [2]와 [3]에서 구한 W_tot는 서로 같은 의미를 가진 식이다.
[5] 따라서 중력만 일을 하는 경우, 운동에너지와 위치에너지의 합으로 각 상태를 표현할 수 있다.
그림 2. Conservation of the Mechanical Energy(K+U)
중력의 역학적 에너지보존법칙: 중력에 의한 계의 총 역학적에너지(Total Mechanical Energy of the System under Gravitational Force)
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그림 3. The potential energy graph for an object in vertical free fall, with various quantities indicated.
- 중력에 의한 계의 총 역학적에너지는 항상 일정하다.
역학적 에너지보존법칙: Conservation of Total Mechanical Energy
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만유인력에 의한 에너지보존법칙: General Gravitational PE의 역학적 에너지보존법칙
[1] 중력퍼텐셜에너지의 일반식(만유인력 퍼텐셜에너지)은 마찬가지로 U_g에 속하므로, 역학적에너지의 conservation 식에 대입 가능하다.
[2] 그러므로 만유인력 퍼텐셜에너지 공식을 활용한 conservation of mechanical energy 식은 다음과 같다.
만유인력의 역학적 에너지보존법칙
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SUMMARY
EXAMPLE 1. 만유인력의 역학적 에너지 보존법칙
반지름 R, 질량 M인 행성의 표면에서 연직 윗방향으로 v의 속력으로 물체를 발사한다. 물체는 표면으로부터 높이가 R/2인 곳까지 올라갔다가 떨어졌다. 초기 속력 v를 구하시오.
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EXAMPLE 2. 중력의 역학적 에너지 보존법칙
질량이 0.145kg인 공을 연직방향으로 초기 속력 20.0m/s로 던졌을 때 공이 얼마나 올라갈 지 구하시오.
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EXAMPLE 3. 중력의 역학적 에너지 보존법칙 (2)
높이 22.0m인 건물의 꼭대기에서 초속 12.0m/s로 수평 방향에 대해 53.1도의 각도로 연직위로 공을 던졌다. 땅에 떨어지기 전 공의 속력을 구하시오.
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EXAMPLE 4.
무게가 20N인 돌을 연직방향으로 던져 올렸다. 돌이 지표면으로부터 15.0m의 높이에 있을 때, 윗 방향으로 25.0m/s로 움직인다면,
(a) 돌이 막 지표면으로부터 벗어났을 때의 속력과
(b) 최대로 올라갈 수 있는 높이를
구하시오.
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