미분적분학
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15. 미분을 이용한 곡선 그리기 이번 글에서는 지난 글 13. 도함수 판정법, 14. 점근선 에서 다룬 내용을 이용해 함수의 그래프를
그리는 법에 대해 다룬다. 순서가 엄격히 정해진 것은 전혀 아니지만 가장 찾기 쉬운 정보부터 표시하여 곡선을 이어가는 방식으로 진행된다. 1. 정의역 확인 2. $x$ 절편, $y$ 절편 표시 3. 대칭성 확인 4. 점근선 확인 5. 증가, 감소구간 찾기 6. 극대, 극솟값이 존재하는 점 찾기 7. 오목성을 확인하고 변곡점 찾기 8. (1~7) 정보를 토대로 곡선을 그리기 각각의 과정에 대해서 따로 자세히 설명하기 보다 예제를 통해 이해하는 것이 빠르다. 예제 다음 곡선을 그리시오 $$ y = \dfrac{2x^2}{x^2 - 1} $$ 더보기 1. 정의역 확인 이 함수는 유리함수이므로 분모가 $0$ 이.. 미분적분학 (Stewart Calculus) 2022.01.20 2
14. 점근선 (Asymptote)
무한히 뻗는 곡선에서 어떠한 직선과의 거리가 0으로 수렴해간다면 이 때의 직선을 점근선이라고 한다. 어떠한 함수의 곡선이 점근선을 가지는지 여부도 그 곡선의 특징을 나타내는 요소라고 할 수 있으므로 곡선을 그릴 때 점근선을 파악해야한다. 스튜어트 미분적분학에서는 다음 세 종류의 점근선을 다룬다. 수평점근선, 수직점근선, 경사점근선 이들을 각각 알아보자. 수평점근선 $\displaystyle \lim_{x \to \infty} f(x) = L$ 이거나 $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = L$ 이면 직선 $y = L$ 을 $f(x)$ 의 수평점근선(Horizontal asymptote)라 한다. 예시 1 $$y = \dfrac{x^2 - 1}{x^2 + 1}$$ 위의..
미분적분학 (Stewart Calculus) 2022.01.07 0
13. 도함수 판정법
미분을 이용하면 그래프의 개형을 파악하는데 도움이 된다. 13, 14번 글에서는 곡선을 그릴 때 미분을 이용하여 개형을 파악하는 도구들을 다룰 것이고 15번 글에서 이들을 종합하여 곡선을 그리는 예제들을 다룰 것이다. 이번 글에서 일계도함수, 이계도함수를 이용해 그래프의 개형을 파악하는데 도움을 주는 정리들을 알아보자. 1. 일계도함수를 이용한 판정법 미분가능한 함수라면 이 함수가 어떤 구간에서 증가 또는 감소하는지 판별할 수 있다. (참고) 함수의 증가, 감소의 정의 증가 어떤 구간 I에 속하는 임의의 $x_1, x_2$ 가 $x_1 < x_2$ 를 만족한다고 할 때, $f(x_1) < f(x_2)$ 가 항상 성립한다면 $f(x)$ 는 구간 $I$ 에서 증가라고 이야기 한다. 감소 어떤 구간 I에 속하..
미분적분학 (Stewart Calculus) 2022.01.04 0
12. 롤의 정리, 평균값 정리 (Rolle's Theorem, Mean Value Theorem)
롤의 정리 (Rolle's Theorem) 함수 $f$ 가 다음 세 가지 조건을 만족하면 $f'(c) = 0$ 인 수 $c$ 가 $(a, b)$ 에 존재한다. 1. $f$ 는 폐구간 $[a, b]$ 에서 연속이다. 2. $f$ 는 개구간 $(a, b)$ 에서 미분가능하다. 3. $f(a) = f(b)$ 증명 더보기 세 가지 경우가 있다. 1. $f(x) = k$, ($k$는 상수) 2. $x \in (a, b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x) > f(a)$ 인 경우 3. $x \in (a, b)$ 인 어떤 $x$ 에서 $f(x) < f(a)$ 인 경우 1번의 경우에는 $f'(x) = 0$ 이므로 $c$ 는 구간 $(a, b)$ 의 아무 점을 택하여도 성립한다. 2번의 경우에는 함수가 폐구간에서 연속이므..
미분적분학 (Stewart Calculus) 2021.02.18 0
11. 최댓값, 최솟값, 극값정리, 페르마 정리 (Maximum, Minimum, Extreme Value Theorem, Fermat's Theorem)
이제는 앞서서 배운 미분을 이용해 함수의 개형을 파악하는 방법을 알아볼것이다. 자연과학 뿐만 아니라 사회과학, 경제학 등 다양한 분야에서 그래프의 개형을 파악하는것은 중요한 일이다. 그리고 이 과정에서 그래프의 최고점, 최저점이 어디인지 알아볼 필요도 있을 것이다. 이를 위해서 최댓값과 최솟값의 정의를 정확히 해 둘 필요가 있다. 최댓값, 최솟값의 정의 $c$ 가 $f$ 의 정의역 $D$ 에 속한 수라고 하자. 그러면 $f(c)$ 는 다음과 같다. ■ $D$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(c) \geq f(x)$ 이면 $D$ 에서 $f$ 의 최댓값이다. ■ $D$ 에 속하는 모든 $x$ 에 대해 $f(c) \le f(x)$ 이면 $D$ 에서 $f$ 의 최솟값이다. 그리고 정의역 전체에서 최댓값 최..
미분적분학 (Stewart Calculus) 2021.01.27 0
[연습문제] 도함수, 연쇄법칙, 음함수 미분, 선형근사 (5~10)
5. 함수의 기울기와 미분계수 (Slope and Derivative of a function) 6. 도함수와 미분가능성 (Derivative and Differentiability) 7. 미분 공식 (Differentiation Formulas) 8. 연쇄법칙과 증명 (Chain Rule) 9. 음함수의 미분법 (Implicit Differentiation) 10. 선형근사 (Linear Approximation) 와 관련된 문제들을 모아놓은 포스트이다. 가급적 위 포스트들을 모두 공부한 후 풀어보기를 권장한다. 좋은 문제들을 찾게된다면 추후에 계속 추가될 수 있다. 1. 다음 함수에서 $f'(0)$ 이 존재하는지 그렇지 않은지 결정하라. (스튜어트 연습문제) $$ f(x) = \begin{cases}..
미분적분학 (Stewart Calculus) 2021.01.23 0
미분방정식
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14. 비동차 미분방정식 - 계수 비교법 (Nonhomogeneous ODE, method of undetermined coefficient) 지금까지는 동차인 선형 미분방정식에 대해서만 다루었다. 동차(Homogeneous)란 어떤 $n$ 계 선형 미분방정식이 다음과 같이 표현될 때, $$ L[y] = \textcolor{skyblue}{g(t)} $$ 에서 $g(t) = 0$ 인 경우이다. 예를 들면, 다음은 비동차 미분방정식이고 $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{-t^3} $$
다음은 동차이다. $$ \sin{t}y'' - y' = \textcolor{skyblue}{0} $$ 다음의 경우엔 미분방정식이 선형이 아니므로 동차 비동차를 따지지 않는다. $$ \sqrt{y''} - yy'' = -t $$ 동차인 선형 미분방정식을 먼저 다뤘던 이유는, 비동차의 경우엔 미분방정식의 $g(t)$ 항을 없애서 .. 미분방정식 (Differential Equation) 2022.09.01 0
13. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식 (3편) (Second-Order Linear ODE with Constant Coefficient) 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 의 Characteristic equation $ar^2 + br + c = 0$ 이 서로 다른 두 실근을 가질 때는 이 글에서 다루었고 한 쌍의 켤레복소수 근을 가질 때는 이 글에서 다루었다. 마지막으로 중근을 가지는 경우에 대해서 이번 글에서 다룰 것이다. Characteristic equation이 $ar^2 + br + c = 0$ 로 표현된다고 할 때 이 이차방정식이 중근을 가진다면 근의 공식에 의해 근은 $r = \dfrac{-b}{2a}$ 이다. 즉 다음과 같은 하나의 해를 찾을 수 있다. $$ y_1 =
e^{rt} = e^{-\frac{b}{2a}t} $$ 그런데 중근이라서 두 번째 해도 똑같은 함수로 $y.. 미분방정식 (Differential Equation) 2022.08.29 0 12. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식 (2편) (Second-Order Linear ODE with
Constant Coefficient) 이 글에서 계수가 상수인 2계 선형 미분방정식 $ay'' + by' + cy = 0$ 는 $y = e^{rt}$ 라고 하면 이차방정식 $ar^2 + br + c = 0$ 을 푸는 문제로 바뀌고 이 중 서로 다른 두 실근 $r_1, r_2$ 을 갖는 경우에 대해 다루었었다. 이 글에서는 $y = e^{rt}$ 로 두고 푸는 것이 왜 가능한건지 여러가지 2계 선형 미분방정식에 관한 정리를 통해 보였었다. 이번 글에서는 켤레 복소수 근(서로 다른 두 허근)을 갖는 경우에 대해 다루고자 한다. $r_1, r_2$ 가 허수이므로 $y = e^{rt}$ 는 지수가 허수인 지수함수이다. 그런데 지수함수는 정의역이 실수인 경우에 대해 정의가 되어 있었으므로 허수를 지수로 갖는 지수함수가 무엇인지 정의할 필요가 있다. .. 미분방정식 (Differential Equation) 2022.08.27 0 11. 이계 선형 미분방정식의 일반 해에 대한 정리 ※ 참고) 이번 글은 약간의 선형대수학 지식을 요합니다. 이전 글에서 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 $y = e^{rt}$ 라고 하면 이차방정식 형태로 나오는 특성방정식을
푸는 문제로 바뀌고, 서로 다른 두 실근, 중근, 켤레복소수근이 나올 수 있으므로 세 경우에 대한 풀이를 알아보면 된다고 했었다. 그리고 그 중 서로 다른 두 실근인 경우의 풀이법에 대해 다루었었다. 하지만 이전 글에서 얻은 일반 해(라고 추측한)의 형태 $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 가 진짜 일반 해인지 아닌지 증명하지는 않았다. 일반 해라고 부르려면, $y = c_1 e^{r_1 t} + c_2 e^{r_2 t}$ 형태의 해가 가능한 모든 해를 포함해야만 한다. 알고 보았더니 $e^{rt}$.. 미분방정식 (Differential Equation) 2022.08.17 0 10. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식 (1편) (Second-Order Linear ODE with Constant Coefficient) 일반적인 이계 선형 미분방정식의 풀이에 대해 설명하기 앞서서 계수가 상수인 경우에는 어떻게 푸는지 보일 것이다. 여기선 Homogeneous인 경우를 다룬다. 계수가 상수인 이계 선형 미분방정식은 다음의 형태를 갖는다. $$ ay'' + by' + cy = 0 $$ 예제1 다음 미분방정식을 풀어라. $$ y'' - y = 0 $$ $$ \quad y(0) = 2, \; y'(0)
= -1$$ 식을 이항하여 $y'' = y$ 로 만들면 두 번 미분하여 자기 자신이 되는 $y$ 를 찾는 문제라고 생각할 수 있다. 두 번 미분했을 때 형태가 잘 유지되는 함수가 무엇이 있는지 떠올려 보자. $y = \sin{t}$ 는 두 번 미분하면 $y'' = -\sin{t}$ 가 되므로 고려해봄직 하다. $\cos{t}$ .. 미분방정식 (Differential Equation) 2022.08.16 0 9. 이계 미분방정식 개요 (Introduction to Second-Order Differential Equation) 이제 이계 미분방정식으로 계(Order)를 올려볼 것이다. 만약 일계 미분방정식에 대해 잘 모른다면 먼저 공부하고 와야 한다. 이 블로그 미분방정식 카테고리의 첫 글부터 보고 오자. 링크 이계 미분방정식 (Second-Order Differential Equation) 은 다음의 꼴을 갖는 미분방정식을 얘기한다. $$ \dfrac{d^2 y}{dt^2} = f\left( t, y, \dfrac{dy}{dt} \right) $$ 여기서 $f$ 는 임의의 함수이고, 이 함수의 독립변수는 $t$ 이다. 당연하게도 $t$ 말고 $x$ 를 써도 상관없고 $y$ 대신 $x$ 를 써도 상관없다. 변수는 잡기 나름이다. 그리고 $f$ 가 다음의
꼴을 갖는다면 이계 선형 미분방정식은 선형(Linear)이라고 한다. $$.. 미분방정식 (Differential Equation) 2022.08.16 0
수학 토막지식
PDE - Solving heat equation using combination of variables method Heat equation 의 풀이법 중 하나인 Combination of variables method를 소개한다. Heat equation 은 다음의
꼴을 갖는 편미분방정식이다. Heat equation 3차원 공간에서 특정 시간 $t$ 와 특정 위치에서의 온도를 나타내는 함수 $u(x, y, z, t)$ 에 대해 $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \nabla^2 u$$ 종종 문제를 간단히 하기 위해 $y$ 와 $z$ 에 대한 열전달이 없다고 가정하고 오직 한 방향 $x$ 에 대해 이 방정식을 다음과 같이 기술한다. $$ \dfrac{\partial u}{\partial t} = \dfrac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$ 이런 꼴의 편미분방정식은 .. 토막 지식 2022.12.09 0
$f(x+\textcolor{orange}{h})$ 의 테일러 전개가 $ f(x) + f'(x) \textcolor{orange}{h} + \frac{f''(x)}{2}\textcolor{orange}{h^2} + ... $ 인 이유 주로 수치해석 관련 전공서에서 다음과 같은 수식을 종종 볼 수 있다. $$ f(x+h) = f(x) + f'(x)h + \dfrac{f''(x)}{2}h^2 + \dfrac{f'''(x)}{6}h^3 + ... $$ (주로 $h>0$ 인 경우이다. $h 토막 지식 2022.11.26 1 삼각 행렬의 eigen value가 대각 성분임을 직관적으로 쉽게(?) 이해하는 법 다음 식을 만족하는 벡터 $\vec{x}$ 를 eigen vector, $\lambda$ 를 eigen value 라고 정의한다. $$ \textbf{A}\vec{x} = \lambda\vec{x} $$ 이를 말로 풀어서 쓰면, 선형변환 $\textbf{A}$ 으로 벡터 $\vec{x}$ 를 변환시켜도 벡터가 회전되지 않고 같은 방향 또는 반대의 방향으로 늘어나거나 줄어들기만 하는 특수한 벡터가 있는데, 이렇게 방향이 유지되는 벡터가 eigen vector 이고 늘어나는 정도가 eigen value가 된다. Eigen vector, eigen value를 구하기 위해 우선 식을 변형 하자. $\lambda
\vec{x} = \lambda \textbf{I} \vec{x}$ 이므로 이렇게 바꾸고 정리하면 .. 토막 지식 2022.11.21 0 p - $\infty$ Norm 이 $\underset{j}{\max}|x_j|$ 인 이유 크기가 $n$ 인 벡터 $\vec{x}$ 에 대해 p-$\infty$ Norm 의 정의는 다음과 같다. $$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \lim_{p \to \infty} \left( |x_1|^p + |x_2|^p + |x_3|^p +
\cdots + |x_n|^p \right)^{\frac{1}{p}} $$ 그리고 많은 전공서에서 위 식이 다음과 같은 식과 같다는 것을 증명 없이 기재해 놓았다. $$ \lVert \vec{x} \rVert_\infty = \underset{j}{\max}|x_j| $$ 이 것의 증명에는 압축 정리(Squeeze theorem)의 아이디어가 이용된다. 우선 다음이 성립함을 관찰하자. $$ \begin{align} \lVert \vec{x} .. 토막 지식 2022.11.09 0 [미분방정식] 차수 축소법
(Method of Reduction of Order) 2계 선형 미분방정식 $$ y'' + p(t)y' + q(t)y = 0 $$ 의 첫 번째 해 $y_1$ 가 무엇인지 알고 있다고 하자. 그러면 어떤 방법을 통해 $$ y_1\textcolor{skyblue}{k'} + (2y_1 + py_1)\textcolor{skyblue}{k} = 0 $$ 꼴의 1계 선형 미분방정식을 푸는 문제로 난이도를 낮출 수 있다. 그리고 이 1계 선형 미분방정식을 풀어내면 미지의 해였던 $y_2$ 를 구할 수 있게된다. 이 방법을 차수 축소법(Method of Reduction of Order)이라 부른다. 여기서 $k$ 는 $t$ 에 관한 함수인데, 이게 무엇인지는 이제 설명할 것이다. (참고 : 1계 선형 미분방정식 푸는 방법) 다음과 같은 일반적인 형태의 2계 선형 미분.. 토막 지식 2022.08.31 0 오일러 공식과 이를 유도하는 두 가지 방법 $$ e^{i\pi} + 1 = 0 $$ 오일러 공식(Euler's Formula)은 워낙 유명해서 한 번 쯤은 다들 들어봤을 것이다. 이 글에서 오일러 공식을 유도하는 두 가지 방법에 대해 설명할 것이다. 이 글을 모두 이해하려면 대학 미적분학이랑 미분 방정식을 공부해야 하지만 첫 번째 방법인 테일러 전개를 이용한 방법은 테일러 급수에 대해 대강 설명하고 시작했기 때문에 그냥 보아도 이해 될 것으로 기대한다. 1. 테일러 전개를 이용한 방법
테일러 전개는 쉽게 얘기 하면, 특정한 조건을 만족하는 함수 $f(x)$ 는 다음과 같이 다항식의 무한 합으로 표현될 수 있는데 $$ f(x) = \sum_{x = 0}^{\infty} \dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n $$ 이를 $x = a$ .. 토막 지식 2022.08.26 0
기타
로지텍(Logitech) 마우스 스크롤 튕김 현상 개선 방법 로지텍 마우스로 스크롤 하다 보면 잘 내려가다가 갑자기 잠깐 올라갔다가
다시 내려가거나 그 반대로 잘 올라가다가 갑자기 잠깐 내려갔다가 다시 올라가는 현상이 일어날 때가 있다. 꽤 고가인 G703 제품을 쓰다 일어난 현상이라 저가 라인이라서 그런 것도 아니였다. 영어로 검색해보니 비슷한 증상을 얘기하는 분들이 꽤 있는걸로 보아 로지텍 마우스 자체적인 결함이 있는 뽑기운이 없는 제품들이 있는 모양이다. 무조건 해결 가능한 방법은 AS 센터를 찾아가는 것이지만, 수리비용이나 찾아가는 번거로움을 생각해보면 다른 방법을 먼저 시도해보고 싶은 생각이 든다. 검색을 통해 해결책이라고 적힌 것들을 시도해 보았다. 1. 휠 근처에 강한 바람을 불어주며 휠을 돌린다. → 아무 효과가 없었다. 2. 윈도우 키 → 장치관리.. 기타 2022.11.13 0 연세대 편입 전적대에 대하여 (2022) 편입판에서 연고대, 특히 연세대는 전적대학을 많이 본다고 알려져 있다. 하지만 독편사에 올라왔던 합격 수기들을 보면 의외로 지방대 출신도 많이 보인다. 궁금증이 생겨 몇 차례 독편사에서 조사를 해보았지만 투표자가 진짜 연세대 합격자가 맞는지 아니면 지나가던 행인이 장난으로 투표한것인지 구분하기 힘든 문제가 있었다. 그래서 이번에 연세대 에브리타임 편입게시판에서 조사를 진행하였고 다음과 같은 결과를 얻었다. 이과 대학 구간 수 비율 연세대, 고려대 1 4% 서강대 성균관대 한양대 4 16% 중앙대 경희대 한국외국어대 서울시립대 이화여대 7 28% 건국대 동국대 홍익대 숙명여대 5 20% 국민대 숭실대 세종대 단국대 인하대 아주대 3 12% 광운대 명지대 상명대 가톨릭대 1 4%
인천대 가천대 경기대 덕성여.. 기타 2022.02.28 0 연세대학교 화공생명공학부 일반 편입 합격 편입동기나 과정에 대해서는 여기서는 공개하지 않겠습니다. 연고대 편입판에서 가치가 높은 정보가 많이 있기 때문에 추후에 과외를 하게 되면 학업계획서와 함께 개인적으로 공개하려고 합니다. 전적대 : 인서울 중하위 학점 : 3.59 / 4.5 (F 받은 과목 2개 포함) TEPS : 337 / 600 제출 서류 : 전적대학 컨텐츠 및 게임 제작대회 금상(1등), 일반수학(미적분학)튜터 증명서 기타 2022.02.08 0 서울대 편입 정보 모음 편입에는 일반편입학 / 학사편입학 두 종류가 있다. 다른 대학과는 달리 서울대는 오직 학사편입학으로만 모집하는데, 대학알리미를 살펴보면 티오도 적고 합격하여 등록하는 사람은 더더욱 적다. 예전부터 서울대는 편입으로 학생들을 잘 안뽑기로 유명했고 학생들도 편입판에서 서울대는 없는 셈 치고 연고대를 끝판왕으로 생각해왔다. 그럼에도 불구하고 합격하는 사람들은 간간히 나왔고 소문만 무성한 서울대 편입에 대해 정리해보고자 이 글을 쓰게 되었다. 1. 한 수험생이 1년간 서울대 편입판을
지켜보고 쓴 글 더보기 1. 학벌세탁에 매우 예민함 서울대는 다른 대학과는 달리 1차부터 서류를 보는 대학입니다. 전공에 대한 진정성을 먼저 확인하고 그 다음에 실력을 체크하려 하지요. 2022년 사회과학대 편입에서는 전원이 과락을.. 기타 2022.02.05 0 레이어, 요술봉 기능 있는 무료 포토샵 Paint.net Paint.net은 윈도우 전용 무료 이미지 편집 프로그램으로 포토샵의 복잡한 기능들은 다 갖추고 있지는 않지만 가벼운 이미지 편집 프로그램임에도 불구하고 레이어, 요술봉(빠른 선택 도구) 등의
필수적인 기능은 다 갖추고 있다. 따라서 1인 개발자나 디자인 전공이 아닌 학생들 중 포토샵 구매하기는 부담스러운 사람들에게 적합한 툴이다. Paint.NET 홈페이지 1. 다운로드 홈페이지에서 상단의 Download 탭에 들어가거나 링크를 타고 들어간 후 아래의 그림에서 가리키는 버튼을 클릭한다. 참고로 위의 버튼은 윈도우 스토어에서 다운받는 것으로 같은 프로그램이지만 유료이다. 가끔 무료 프로그램 중에서도 스토어에 올릴 때는 유료로 올리는 경우가 있다고 한다. 다운로드 후 압축을 풀고 기본 세팅대로 설치를 쭉.. 기타 2022.01.19 0
연세대 합격증
연세대학교 화공생명공학부 일반 편입 합격 편입동기나 과정에 대해서는 여기서는 공개하지 않겠습니다. 연고대 편입판에서 가치가 높은 정보가 많이 있기 때문에 추후에 과외를 하게 되면 학업계획서와 함께 개인적으로 공개하려고 합니다. 전적대 : 인서울 중하위 학점 : 3.59 / 4.5 (F 받은 과목 2개 포함) TEPS : 337 / 600 제출 서류 : 전적대학 컨텐츠 및 게임 제작대회 금상(1등), 일반수학(미적분학)튜터 증명서 기타 2022.02.08 0