피타고라스의 정리를 배웠으니까 이 정리를 여러 도형에서 활용해봐야겠죠?
피타고라스의 정리라고 해서 꼭 직각삼각형에서만 사용하는 건 아니에요. 사각형에서도 활용할 수 있어요. 직각삼각형이 보이지 않는다면 선분을 잘 그어서 피타고라스의 정리를 활용할 수 있도록 그림을 변형시킬 수 있거든요.
이 글에서는 사각형과 관련된 공식이 나오는데, 공식으로 외우기보다는 그림을 외우는 것이 훨씬 이해하기 쉽고, 외우기도 쉬워서 머릿속에 오래 남아요. 그림으로 이해하고 외우세요.
피타고라스 정리의 활용
사각형에서 두 대각선이 직교할 때
다음 그림처럼 사각형에서 두 대각선이 직교할 때 네 변 길이의 상관관계를 알아보죠.
대각선이 수직으로 만나는 점을 점 O라고 하죠. 그러면 △OAB, △OBC, △OCD, △ODA라는 네 개의 직각삼각형이 생겨요. 점 O에서 각 꼭짓점에 이르는 거리를 각각 a, b, c, d,라고 해보죠. 그리고 네 개의 직각삼각형에 피타고라스의 정리를 적용해보면,
= a2 + c2 …… ①
= b2 + c2 …… ②
= b2 + d2 …… ③
= d2 + a2 …… ④
위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a2 + b2 + c2 + d2의 관계가 성립해요.
사각형의 두 대각선이 직교할 때
⇒ 마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒
+
=
+
다음 사각형의 두 대각선이 직교할 때, x를 구하여라.
마주보는 두 대변의 길이의 제곱의 합이 같으므로 82 + x2 = 122 + 62
64 + x2
= 144 + 36
x2 = 116
x =
(cm, x > 0)
직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리
이번에는 직사각형에서 알아볼까요? 직사각형 안에 임의의 점 P를 잡아요. 그런 다음 점 P를 지나고 변 AB에 평행인 선을 긋습니다. 이 선이 변 AD와 만나는 점을 E, 변 BC와 만나는 점을 F라고 하죠. 이번에는 점 P를 지나고 변 BC에 평행인 선을 그어서 이 선이 변 AB와 만나는 점을 점 G, 이 선이 변 CD와 만나는 점을 점 H라고 해보죠. 직각삼각형이 생겼네요.
라고 할께요.
점 P에서 네 꼭짓점 A, B, C, D에 이르는 거리에 피타고라스의 정리를 적용해보면
= a2 + c2 …… ①
= b2 + c2 …… ②
= b2 + d2 …… ③
= d2 + a2 …… ④
위 식에서 ① + ③ = ② + ④ = a2 + b2 + c2 + d2의 관계가 성립해요.
직사각형 안의 임의의 한 점 P
⇒ P에서 마주 보는 꼭짓점사이의 길이의 제곱의 합이 같다.
⇒
+ = +
다음은 직사각형 안의 한 점에서 꼭짓점에 이르는 거리를 나타낸 것이다. x를 구하여라.
직사각형 안의 한 점에서 마주보는 꼭짓점 사이의 거리의 제곱의 합이 서로 같으므로 82 + x2 =
62 + 72
64 + x2 = 49 + 36
x2 = 21
x =
(cm, x > 0)
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피타고라스 정리의 활용
- 사각형의 두 대각선이 직교할 때: 마주보는 두 변의 길이의 제곱의 합이 서로 같다.
- 직사각형 안의 한 점에서 마주보는 꼭짓점사이의 길이의 제곱의 합이 서로 같다.
[피타고라스/피타고라스의 활용]
피타고라스의 활용 공식 정리!
문제 풀이법!
이제 여름방학이 시작되었네요!
중3 여러분들은 2학기 준비 잘하고 계신가요?
요새는 중3 학생들 중에 이미 2학기 과정은 끝내고
고1 수학과정 수학1을 준비하는 학생들도 많습니다.
제가 강의 하는 학원에서도 중3 2학기과정과 고1과정을 같이 하거든요^^
고1과정은 미리 해도 중3 2학기 과정과는 별개로 연관성이 크지 않아요~ㅋ
오히려 3학년 1학기 부분까지가 고1때 1학기때 배우는 수1과정에서 연관성이 크고 배운거 써먹기도 해요~
어쨋거나 오늘의 포스팅은
중3 2학기 과정에서 배우는 피타고라스의 정리에서
마지막 부분 활용 공식 입니다!
먼저 사각형에서의 피타고라스 정리의 활용입니다.
첫번째 그림 같은 경우에는 녹색부분의 직각삼각형 빗변 제곱의 합은 주황색부분의 직각삼각형 빗변 제곱의 합과 같아요!
이유는 증명보기에서와 같이
각각의 삼각형에서 빗변의 제곱의 합은 사각형 대각선에서 생기는 선들의 제곱의 합과 같기 때문입니다.
두번째 그림같은 경우에도 마찬가지입니다.
직사각형 내부에 아무곳에나 점P를 잡아보시고 직사각형의 각 꼭지점에서 점 P까지 선을 그어 보세요.
그럼 마주보는 꼭지점들에서 P까지 선을 만들었을때의 각각 제곱의 합이 같은걸 알수가 있어요^^
즉, 빨간색선의 제곱의 합은, 검은색선의 제곱의 합과 같습니다!
다음은 삼각형에서의 피타고라스 정리의 활용입니다.
먼저 첫번째 그림과 공식은 2학년 2학기때 배웠어요.
닮음을 이용한 공식입니다.
그래서 삼각형ABC, 삼각형ABD, 삼각형ACD가 모두 닮음이면서 직각삼각형이죠?
이번 3학년 2학기때에 피타고라스의 정리를 배우니 증명하고 외워야할 공식이 더 늘어났네요~ㅋ
두번째 삼각형을 보세요~
AB직선 위에 점D를 만들고, AC직선 위에 점E를 만들어보세요.
점D와 점E를 그어보면 사각형DEBC가 만들어 지네요.
그리고 점D와 점E에의해 만들어 지는 사각형DEBC의 대각선까지 그려보세요!
그럼 이제 직각삼각형이 몇개가 만들어 지나요?
삼각형ADE, 삼각형ABC 2개와 삼각형ABE, 삼각형ADC 2개가 생기게 됩니다.
그다음 제가 먼저 쓴 ADE와 ABC의 피타고라스를 정리해서 모두 더하고
두번째로 쓴 ABE와 ADC의 피타고라스를 정리해서 모두 더하면 값이 같습니다.
이해가 잘 되나요?
정삼각형의 특징이 뭐죠?
모든 각이 각각 60도이고 또 모든변의 길이가 같습니다.
그림에서와 같이 꼭지점A에서 선분BC에 수직으로 선을 그어 보세요!
그럼 삼각형ABH와 삼각형ACH는 합동이 됩니다.
또한 각AHB와 각AHC는 직각이 되요~
그럼 선분BH의 길이는 선분BC의 길이인 a의 반이 되고 피타고라스의 정리를 이용하면 h의 높이가 나온답니다.
넓이 구하는 공식은 다들 아시죠?
밑변 X 높이 X (1/2) 을 이용하면 넓이의 공식도 나온답니다.^^
제일 많이 쓰이는 피타고라스의 수입니다.
먼저 직각이등변 삼각형일때는 길이의 비가 1 : 1 : 루트2 가 되구요.
정삼각형에서 반을 잘랐을때 한쪽의 각은 60도, 다른한각은 30도가 나옵니다.
그때의 각각 변의 길이의 비는 1 : 루트3 : 2 가 된답니다.
이번에는 좌표평면 위에서의 직각삼각형을 이용하여 피타고라스의 정리를 활용한 공식입니다.
고1과정 수1에서 평면좌표 파트에서도 배우지만
미리 중학교3학년때 피타고라스의 정리를 배웠으니 지금 미리 해놓는다면 고1때 금방 또 하겠죠?^^
첫번째 그림보다는 두번째 그림이 더 많이 나오고 응용문제가 나오니
A점의 좌표와 B점의 좌표를 찍어서 피타고라스의 정리를 이용해
AH의 길이와 BH의 길이를 구하면 피타고라스정리에 의해 AB의 길이를 구할수 있답니다!!
이제부터는 집중을 잘 하셔야 합니다!!
입체도형에서 직각삼각형을 찾아서 피타고라스를 이용해 모든 선분의 길이를 구할수가 있습니다.
공식처럼 외우는것도 좋지만, 공식에 의존하는거보다는
직접 증명을 해보는게 큰 도움이 됩니다.
그렇게 해야지만 어떠한 문제가 나오더라도 모든 입체도형의 선분들을 다 구할수가 있거든요~~
그럼 시작해 보겠습니다.
먼저 직육면체의 선분AG의 길이를 구하는
과정입니다.
삼각형 EFG가 직각삼각형이므로 피타고라스의 정리를 이용하면 EG의 길이가 나옵니다.
그다음 삼각형 AEG가 다시 직각삼각형이기 때문에 똑같이 피타고라스의 정리를 이용하면 AG의 길이를 구할수가 있습니다.
그다음은 정육면체의 선분AG의 길이를 구하는 과정입니다.
위에서와 같이 직각삼각형을 찾아 선분AG의 길이를 구하는 것인데
정육면체의 특징은 모든 모서리의 길이가 같다는것입니다.
그래서 a제곱을 세번 더해서 선분AG의 값은 에이루트3이나오게 되는것입니다.^^
정사면체란 4개의 면이 모두 정삼각형일때를 정사면체라고 합니다.
먼저 정사면체의 높이를 구하려면 밑면의 무게중심을 찾아야 합니다.
그리고 아까 위에서 정삼각형의 높이를 구했죠?
높이에서 밑에 있는 정삼각형의 무게중심이 H라 했을때 DH와 MH의 길이의 비가 2 : 1입니다.
그리고 직각삼각형 AHD를 피타고라스의 정리를 이용하면 높이가 나온답니다.
부피를 구하는 공식은 밑면의 넓이에서 높이를 구해준다음 (1/3) 을 곱해주었을때 정사면체의 부피가 나옵니다.
정사각뿔이란 밑면이 정사각형이고 나머지 4개의 옆면이 이등변삼각형이 되었을대를 정사각뿔이라고 합니다.
정사각뿔의 높이를 구하는 과정은
정사각형의 무게중심을 먼저 구해야 하는데 정사각형에서 대각선의 교점이 무게중심이 되며 그 점을 H라 했을때
삼각형 ABH가 직각삼각형이 되므로 피타고라스의 정리를 이용하면 높이를 구할 수 있습니다.
정사각뿔의 부피는 마찬가지로 밑면의 넓이에서 높이를 곱한 후 (1/3)을 곱해주면 정사각뿔의 부피가 됩니다.
세번째 뿔이 나왔네요!
바로 원뿔입니다.
원뿔에는 정사면체나 정사각뿔처럼 모서리가 없습니다.
원뿔의 입체도형을 펼쳐보았을때 부채꼴이 나오고 그 부채꼴이 호의 길이가 밑면의 원의 둘레랑 길이가 같습니다.
그래서 부채꼴의 반지름의 길이가 l이 되는 것이고, 밑면의 반지름의 길이가 r이 되었을때
그림에서와 같이 피타고라스의 정리를 이용해 원뿔의 높이를 구할 수 있습니다.
입체도형의 마지막그림이 나왔네요~
바로 구의 입체도형을 잘라내었을때의 모습입니다.
구의 반지름 R과 구의중심으로부터 단면까지의 길이d를 알면
역시 피타고라스의 정리를 이용해 잘려나간 단면인 원의 반지름도 구할수 있고 단면의 넓이도 구할수 있습니다.
마지막으로 입체도형을 모두 펼쳐서 전개하였을때의 최단거리를 구하는 방법입니다.
그림에서 처럼 직사각형과 원기둥, 원뿔의 겉에서 선을 그었을때 최단거리가 나오는것을
그 입체도형을 전개도를 펼쳤을때의 빨간선이 되는 것입니다.
주저리 글로 떠들기 보다는 직접 그림을 그려보고 전개도를 만들었을때 길이를 구한다면 이해하기 쉬울것이라 생각합니다.
다들 피타고라스정리의 활용 이해가 되셨나요?
2학기 공부도 열심히 하시고 좋은성적 받았으면 좋겠습니다.
그럼 모두들 즐거운 여름방학 보내세요~~