[경고] 아래 글을 읽지 않고 "무한 급수"를 보면 바보로 느껴질 수 있습니다.
무한 급수(infinite series)의 원론적 의미는 항을 무한히 더해감이다. 무한히 더해가기 때문에 어떤 경우는 수렴하고 어떤 경우는 발산한다. 그래서 항을 계속 더해갈 때, 무한 급수가 수렴할지 혹은 발산할지를 판정하는 수단이 매우 중요하다. 상식적으로는 수렴하는 무한 급수만 중요할 것 같지만, 경우에 따라서는 발산하는 무한 급수도 요긴하게 쓰인다. 대표적으로 발산하는 무한 급수는
계승(階乘, factorial)을 근사하는 스털링의 공식(Stirling's formula)이다. 스털링 공식 자체는 발산하지만, 항을 적당히 더하면 계승을 거의 완벽하게 근사할 수 있다.
무한 급수라는 말뜻에는 항을 쉴 새 없이 더한다는 의미가 있다. 하지만 수학 관점에서 무한 급수를 이렇게 축소해서 생각할 필요는 없다. 수학에서 무한
급수는 더 큰 개념을 가져서 함수를 정의할 때 무한 급수를 적극적으로 사용한다. 그래서 무한 급수 ≡ 함수 정의라고 더 확장해서 생각하면 우리 수준을 더 높일 수 있다. 무한 급수로 함수를 정의하는 대표적인 방식이 실 함수(real function)에 쓰이는 테일러 급수(Taylor series)와 복소 함수(complex function)에 나오는 로랑 급수(Laurent series)가 있다.
무한 급수를 논하기 전에 수열(數列, sequence)이 수렴(收斂, convergence)한다는 의미부터 확립한다. 수열 $\{a_n\}$ [$\equiv a_0, a_1, a_2, a_3, \cdots$]이 수렴한다는 표현은 아래와 같이 한다.
식 (1)은 극한의 정의와 비슷하게 표현할 수 있다.
[수열의 수렴]
임의의 작은 양의 실수 $\epsilon$에 대해, $n \ge N \Rightarrow |a_n - L| < \epsilon$을 만족하는 자연수 $N$이 항상 존재한다.
수열의 수렴 표현법를 이용해서 무한 급수의 수렴을 정의할 수 있다. 무한 급수를 수열처럼 만들기 위해 유한 합(finite sum)으로 구성한 부분 합(partial sum) 개념을 도입한다.
식 (1)과 유사하게 부분 합 $S_n$을 이용하여 무한 급수의 수렴을 표현할 수 있다.
식 (3)에 정의한 무한 급수의 수렴을 수열의 수렴처럼 표현하면 다음과 같다.
[무한 급수의 수렴]
임의의 작은 양의 실수 $\epsilon$에 대해, $n \ge N$ $\Rightarrow$ $|S_n - L| < \epsilon$을 만족하는 자연수 $N$이 항상 존재한다.
수열의 개념에 기반을 두고 무한 급수의 수렴 특성을 부분 합으로 분석한다. 부분 합 $S_n$에 포함하지 않는 나머지 무한 급수 부분은 당연히 $|\sum_{n=N+1}^\infty a_n|$ < $\epsilon$을 만족한다. 이와 같이 수열과 무한 급수의 수렴은 무한대에서 특성으로 파악해야 한다. 하지만 수학적으로 무한대는 매우 모호한 개념이므로, 무한대를 피해서 수렴을 보는 새로운 관점이 필요하다. 이를 위해서 아래와 같은 코쉬 수열(Cauchy sequence)을 정의한다.
[코쉬 수열]
임의의 작은
양의 실수 $\epsilon$ 및 자연수 $N$보다 큰 임의의 $m, n$에 대해, $|a_m - a_n| < \epsilon$을 항상 만족하면 코쉬 수열이다.
수열이나 무한 급수의 수렴을 코쉬 수열로 살펴볼 수 있다. 코쉬 수열의 정의에 따라 무한 급수의 부분 합이 수렴하면, 그 부분 합은 코쉬 수열이 된다. 이 명제의 증명을 위해 부분 합 $S_m, S_n$의 차이를 다음처럼 선택한다.
여기서 $\epsilon/2$은 $S_m, S_n$과 수렴값의 차이 중에서 큰 값으로 선택한다. 식 (A.1)에 의해 수렴하는 무한 급수의 부분 합은 반드시 코쉬 수열이 된다. 수열이나 무한 급수의 수렴 특성을 코쉬 수열로 판정하는 방식은 코쉬 기준(Cauchy criterion)이라 부른다.
또한 무한 급수의 부분 합 $S_n$이 수렴하면, 무한 급수를 구성하는 수열 $\{a_n\}$은 어떻게 되어야 할까? 식 (1)과 (2)를 사용하면, 다음 특성이 반드시 성립해야 한다.
[수열 특성]
무한 급수가 수렴하면 무한 급수를 구성하는 수열은 $n$이 커짐에 따라 0에 수렴한다.
[증명]
극한의 특성을 이용하면 아래 관계를 얻을 수 있다.
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여기서 $r$은 공비(共比, common ratio)이다. 다음으로 식 (5)에 제시한 등비 급수의 합을 계산한다.
따라서 식 (6)에 의해 $|r| < 1$인 경우에만 무한 등비 급수는 수렴하게 된다.[∵ 수열 $\{r^n\}$이 0으로 수렴한다.]
무한 등비 급수처럼 절대값(absolute value)을 취해 항상 양인 항을 계속 더해도 수렴하는 급수[$\sum_{n=0}^\infty |a_n|$]는 절대 수렴(absolute convergence) 급수라 한다. 절대 수렴하는 무한 급수는 수학적으로 완전한 성질을 가지고 있기 때문에 자유롭게 계산할 수 있다. 반대로 절대값을 취한 항을 무한히 더하면 발산하지만, 절대값 없이 원래 항을 더하면 수렴하는 급수[$\sum_{n=0}^\infty a_n$]는 조건 수렴(conditional convergence)한다고 부른다.
우리가 많이 사용하는 연속 함수와 무한 급수를 다음처럼 연결한다. 함수의 정의역을 무한 급수로 정의하더라도 연속이 잘 성립한다.
[연속 함수 특성]
여기서 $L$은 무한 급수의 수렴값이며 $f(x)$는 연속이다.
[증명]
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무한 급수 이론에서 헷갈리면서도 중요한 부분은 수렴 판정법(convergence test)이다. 통상적인 무한 급수의 판정법은 유한 합(finite sum)에서 시작한다. 처음부터 무한을 다루기는 어렵기 때문에 유한한 항을 더한 결과인 유한 합이 매우 중요하다. 다음으로 무한대라는 용어를 쓰지 않기 위해 유한 합으로 구성한 부분 합의 특성을 면밀히 추적한다. 더하는 항에 관계없이 부분 합이 유계라면, 무한 급수는 수렴한다고 판정한다.
1. 수렴 판정(convergence test)
부분 합과 부등식의 특성을 이용해서 다양한 무한 급수의 판정법을 증명한다.
[절대 수렴 판정(absolute convergence test)]
절대 급수(absolute series)가 수렴하면 해당 무한 급수는 절대 수렴(absolutely convergent)한다.
[증명]
아래 부등식을 먼저 고려한다.
식 (1.1)의 가장 우변 항을 절대 수렴 급수라 가정하므로, 좌변 항에 있는 급수도 당연히 수렴해야 한다. 왜냐하면 단조 증가(monotonous increase)하는 수열이 유계(有界, bounded)이기 때문이다. 그러면 다음 관계가 성립한다.
즉 식 (1.2)에서 좌변이 절대 수렴하기 때문에 우변도 반드시 절대 수렴해야 한다.
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식 (1.2)에서 한 가지 생각할 부분은 좌변 무한 급수의 항을 교환하여 우변을 만든 부분이다. 이런 교환이 성립하는가? 다행히 절대 수렴하는 무한 급수는 각 항을 합치는 순서를 바꾸어도 원래값으로 수렴한다.
[비교 판정(comparison test)]
$\Sigma|a_n| < \Sigma |b_n|$인 경우, $\Sigma|b_n|$이 절대 수렴하면 $\Sigma|a_n|$도 절대 수렴한다.
[증명]
무한 급수 $\Sigma|b_n|$이 절대 수렴하면 유계이므로, $\Sigma|a_n|$도 유계가 된다. 또한 $\Sigma|a_n|$은 단조 증가하고 있다. 이를 종합하면 $\Sigma|a_n|$은 유계이면서 단조 증가하므로 절대 수렴한다.
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비교 판정은 발산하는 무한 급수에도 사용할 수 있다. 즉, 충분히 큰 $N$ 이상에서 $0 \le b_n \le a_n$이 성립하고 $\Sigma b_n$이 발산하면, $\Sigma a_n$도 발산한다. 그래서 발산하는 $\Sigma b_n$의 부분 합 $T_n$은 수렴하지 않고 계속 커진다. 이와 함께 $\Sigma a_n$의 부분 합 $S_n$은 항상 $T_n \le S_n$을 만족한다. 따라서 $n$이 증가함에 따라 $T_n$과 함께 $S_n$도 계속 커지므로 $\Sigma a_n$은 필연적으로 발산한다.
[비율 판정(ratio test)]
$\lim_{n \to \infty} |a_{n+1}|/ |a_n| < 1$을 만족하는 무한 급수는 절대 수렴한다.
[증명]
식 (7)에 있는 무한 등비 급수를 이용하면 쉽게 증명할 수 있다.
여기서 $r_\text{max}$는 $n > N$인 $r$ 중에서 가장 큰 값이다. $r < 1$이면 식 (1.3)의 무한 등비 급수가 수렴하기 때문에 절대 급수가 수렴한다. 식 (1.2)에 의해 절대 급수가 수렴하면 원래 무한 급수도 절대 수렴한다.
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만약 $r > 1$이면 더할수록 값이 계속 커지기 때문에 무한 급수는 발산하게 된다. 만약 $r$ = $1$이면 이 급수의 수렴은 판정할 수 없다. 수렴할 수도 있고 발산할 수도 있다. 그래서 다른 판정법을 사용해야 한다. 비율 판정법은 달랑베르Jean le Rond d'Alembert(1717–1783)가 최초로 제안했기 때문에 달랑베르 비율 판정(d'Alembert ratio test)이라고도 한다.
[극한 비율 판정(limit comparison test)]
여기서 $L$은 0보다 크며 무한대는 아니다.
[증명]
편하게 수열의 항을 $a_n, b_n > 0$이라 가정한다. 그러면 식 (1.4)의 조건에 의해 $a_n, b_n$은 다음 조건을 만족한다.
식 (1.5)에 의해 $b_n < a_n/(L - \epsilon)$이므로 비교 판정에 의해 무한 급수 $a_n$이 수렴하면 무한 급수 $b_n$도 수렴한다. 마찬가지로 $a_n < b_n(L + \epsilon)$이므로 $b_n$이 수렴하면 $a_n$도 수렴한다. 무한 급수가 발산하는 경우도 마찬가지 방법으로 증명할 수 있다.
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만약 $L$ = $0$인 경우에는 식 (1.4)가 성립하지 않는다. 즉 무한 급수 $b_n$이 수렴하는 경우에만 무한 급수 $a_n$이 수렴한다. 반대 경우는 결과를 알 수 없다. 혹은 무한 급수 $a_n$이 발산하는 경우에만 무한 급수 $b_n$도 발산한다. 이렇게 되는 이유는 $a_n < \epsilon \cdot b_n$이기 때문이다. 또한, 식 (1.4)에서 무한 급수 $b_n$이 수렴하고 $L$이 유한하면, 무한 급수 $a_n$은 항상 수렴한다.
[아벨의 판정(Abel's test)]
무한 급수 $\sum_{n = 0}^\infty a_n$이 수렴하고 수열 $\{b_n\}$이 $n$에 대해 증가하지 않고 유계라면, 무한 급수 $\sum_{n=0}^\infty a_n b_n$은 수렴한다.
[증명]
먼저 무한 급수 $\sum_{n = 0}^\infty a_n$의 부분 합을 정의한다.
식 (1.6)을 이용해 $\sum_{n=0}^\infty a_n b_n$의 부분 합 $S_N$을 다음처럼 변형한다.
조건에 의해 $A_N b_N$은 수렴하므로, 식 (1.7)의 마지막식에 등장한 부분 합의 수렴성을 살펴본다. 무한 급수 $\sum_{n = 0}^\infty a_n$이 수렴해서 유계이기 때문에, 모든 $n$에서 $|A_n| < M$을 만족하는 $M$이 존재한다. 따라서 식 (1.7)의 부분 합은 다음 관계를 만족한다.
조건에 의해 수열 $\{b_n\}$이 수렴하고 $M$도 유한하므로, $N$이 커지더라도 부분 합은 유계가 된다. 또한 절대값을 항으로 가지는 부분 합이므로 단조 증가한다. 이로 인해 $N$이 계속 커지면, 식 (1.8)의 부분 합은 자연스럽게 수렴한다. 따라서 $\sum_{n=0}^\infty a_n b_n$은 수렴한다.
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아벨의 판정에서 수열 $\{b_n\}$이 감소하지 않고 유계인 경우도 비슷하게 증명할 수 있다. 아벨 판정의 증명에 사용한 식 (1.7)은 유한 급수의 특성을 분석할 때 자주 사용한다. 이런 방식을 부분 합산(summation by parts)이라 부른다. 식 (1.7)과는 약간 다르게 다음처럼 부분 합산을 정리할 수도 있다.
[그림 1] 조화 급수와 곱셈의 역수(multiplicative inverse) 함수(출처: wikipedia.org)
[적분 판정(integral test)]
음수가 아니면서 단조 감소하는 함수 $f(n)$으로 구성하는 무한 급수가 수렴하는 조건은 다음과 같다.
여기서 $N$은 정수이다.
[증명]
[그림 1]처럼 $f(x)$는 단조 감소하기 때문에 다음 부등식이 항상 성립한다.
모든 적분 구간에 대해 식 (1.11)을 적용하면 식 (1.10)의 왼쪽 부등식이 나온다. 마찬가지로 $f(n+1)$에서는 다음 부등식을 만족한다.
따라서 식 (1.10)의 오른쪽 부등식도 유도된다.
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적분 판정은 제안자 이름에 따라 매클로린–코쉬 판정(Maclaurin–Cauchy test)이라고도 한다. 식 (1.10)의 결과는 발산하는 무한 급수에도 적용할 수 있다. 즉, 식 (1.10)의 왼쪽 적분이 발산하면 원래 무한 급수도 비교 판정에 의해 발산한다. 예를 들어, [그림 1]의 조화 급수(harmonic series)는 아래 적분에 의해 발산한다.
여기서 $N$ = $1$이다.
2. 수렴 정리(convergence theorem)
아벨의 정리(Abel's theorem)는 아벨 판정의 특별한 경우이지만, 무한 급수와 멱급수(power series)의 관계를 잘 보여주어서 테일러 급수(Taylor series)와 푸리에 급수(Fourier series)의 다양한 증명에 자주 사용된다.
[아벨의 정리(Abel's theorem)] [1]
멱급수 $\sum_{n = 0}^\infty a_n x^n$이 구간 $(-1, 1)$에서 수렴하고 무한 급수 $\sum_{n = 0}^\infty a_n$도 수렴하면 다음 극한이 성립한다.
[증명]
식 (1.7)을 멱급수 기준으로 다시 써본다.
여기서 $A_N$은 식 (1.6)이다. 식 (2.2)의 $N$을 무한대로 보내서 무한 급수의 수렴 특성을 확인한다.
식 (2.3)의 좌변은 조건에 의해 수렴한다. 식 (2.3)의 우변 극한은 $A$가 유한하고 $x^N$이 $0$으로 가기 때문에 전체 극한이 $0$으로 간다. 그러면 식 (2.3)의 우변에 있는 멱급수도 수렴한다. 다시 식 (2.3)의 양변을 $A$만큼 빼준다.
식 (2.4)의 우변에 만든 두 무한 급수는 수렴하므로 항별로 서로 빼줄 수 있다. 또한 $n \ge M$일 때 항상 $|A_n - A| < \epsilon/2$이 되게 할 수 있다. 여기서 $\epsilon$은 임의로 작은 양의 실수이다. 이 결과를 활용해서 다음 부등식을 구성한다.
여기서 $0 < x < 1$이다. 식 (2.5)의 마지막식에 있는 유한 급수는 $x$와 관계가 없다. 그래서 $x \to 1$로 가는 극한을 취하면, 식 (2.5)의 좌변을 $\epsilon/2 + \epsilon/2$ = $\epsilon$보다 항상 작게 만들 수 있다.
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아벨의 정리가 가진 위력적 특성을 이해하기 위해 다음 테일러 급수를 고려한다.
식 (2.6)에서 $x \to 1^-$일 때, 무한 급수는 $\log(2)$에 수렴할까? 만약 $x$ = $1$이면 식 (2.6)의 우변은 교대 급수(alternating series)가 된다. 이 교대 급수는 라이프니츠 기준(Leibniz criterion)을 만족해서 당연히 수렴한다. 따라서 멱급수의 극한이 만든 무한 급수는 $\log(2)$에 수렴한다. 하지만 멱급수에서 $x \to 1^-$로 가는 극한이 존재한다고 해서 $x$ = $1$을 대입한 무한 급수와 항상 같지는 않다. 예를 들어 이항 정리(binomial theorem)에 기반한 다음 멱급수를 생각한다.
극한 $x \to 1^-$를 적용한 경우는 멱급수의 합이 $1/2$이다. 하지만 $x$ = $1$을 대입한 무한 급수는 수렴하지 않는다.