가. 교수내용 및 목표 기술
강의별로 주제마다 프리젠테이션을 이용하여 명확하게 목표를 제시하고, 일반칠판을 이용하여 각 강의주제를 간략히 설명하고 문제풀이를 통해 배운 내용을 심화한다.
나. 교수방법 활동 설계
그림을 부분적으로 도입하여 주제와 대상문제를 설명하고, 판서를 통해 그 과정을 간략히 설명하고, 예제 및 연습문제 풀이를 자세히 반복 설명한다.
[Chapter 01 ] 연습문제 및 해답
※다음 방정식의 근을 구하라.
[ ]풀이
∴
[ ]풀이
이면
이므로 부정
≠ 이면
[ ]풀이 양변에를 곱하면
정리하면
∴
1
을 풀어서 근을 구하라. (단,,,는 실수)
[ ]풀이
≠ 이면 이므로
이면이면부정≠ 이면 불능
≠ 이면 원식은
이되고
±
±
∴
±
≠ 이면
이고 이면부정≠ 이면 불능
≠ 이면
±
※다음 방정식의 근을 구하라.
1
[ ]풀이
인수분해하면
∴
1
[ ]풀이 원식
∴
1
[ ]풀이 원식
∴
※다음 두 값을 근으로 하는 차 방정식을 구하라 2.
1
,
[ ]풀이
가 근이므로
∴
1
,
[ ]풀이
가 근이므로
∴
1
[ ]풀이 ′
′
′
∴ ′
1
cos
[ ]풀이 ′
′cos
cos
′
cos
sin
∴ ′
cossin
1
[ ]풀이
라고 두면
′
∴
1 sin
[ ]풀이
sin
라고 두면
′
sin
cos sin
cos
∴ ′ sin
cos
1
ln
[ ]풀이
이라고 두면
ln
′′
∴ ′
1
sin
[ ]풀이 sin라고 두면
′
′
sin
cos
∴ ′
sin
cos
1
sin
[ ]풀이 ′
sin
′
sin
′
cos
sin
∴ ′
cos
sin
※다음 함수를 적분하라.
1
[ ]풀이
라고 두면
⋅
∴
1 cos
[ ]풀이 부분적분법에서 ′cos로두면
cos
sin
sin
∴
sincos
1 ln
[ ]풀이
부분적분법에서 ln′로두면
ln
ln
ln
∴
ln
1
cossin
[ ]풀이
sin
cos이므로
cos
cossin
cos⋅
cos⋅
cos
∴
sin
※다음 삼각함수의 역함수를 계산하라.
1
[ ]풀이
sin
∴
1
[ ]풀이 cos
∴
1
[ ]풀이
tan
∴
※다음을 증명하라.
cos
cot
sin
[ ]풀이
cos
cot
cos
sin
cos
sin
∴
cos
cot
sin
1
tan
cot
[ ]풀이 sintancot cossin
cos
sin
sin
cos
sin
cos
∴ sintancot
※삼각함수의 덧셈 및 뺄셈 공식을 이용하여 다음을 증명하라.
1
sin
sin
cos
[ ]풀이 sin
sincos
sincos
sin
sincos
sincos
위의삼각함수의덧셈과뺄셈공식을더하면
sin
sin
sincos가된다
로두면
가 되므로
sinsin sinsin
sincos
sin
cos
∴ sin
sin
sin
cos
1
cos
[ ]풀이 삼각함수의 덧셈공식에 의하여
sin
sin
cos
sincos
⋅ cossin⋅
cos
※다음의 두 신호를 합성하여 사인파로 표현하라.
sin
cos
[ ]풀이
sincos
sin를이용하면
sin
cos
sin sin
cos
sin
∴
∴
sin
cos
sin
[Chapter 02 ] 연습문제 및 해답
※다음 미분방정식의 계수와 선형성에 대해 설명하라.
2
′′′
′
[ ]풀이 최대 미분횟수는
′′′의 이므로 계이고3 3 ,
와 의 도함수들 모두 차로만 표현되어 있으므로 선형이다.
∴ 계 선형3 ,
2
′
′′
[ ]풀이 최대 미분횟수는
′′의 이므로 계이고2 2 ,
와 의 도함수들 모두 차로만 표현되어 있으므로 선형이다.
∴ 계 선형2 ,
2
′
′′
sincos
[ ]풀이 최대 미분횟수는
′′의 이므로 계이고2 2 ,
의 형태가 포함되어 있으므로 비선형이다.
∴ 계 비선형2 ,
-
[ ]풀이 에 대한 도함수는
′
이므로 계이고1 ,
의 형태가 포함되어 있으므로 비선형이다.
∴ 계 비선형1 ,
※다음 미분방정식의 해를 구하라.
2 ′
sin,
[ ]풀이 원식의양변을적분하면
cos
을대입하면
이므로
∴
cos
,
[ ]풀이 ′
의양변을적분하면
를 대입하면
이되어서
∴
2 ′
sin,
[ ]풀이 부분적분법을이용하여 원식의양변을적분하면
cos
sin
를 대입하면
∴
cos
sin
※다음 미분방정식의 해를 구하라.
2 ′
[ ]풀이
원식
의 변수를 분리하면
양변을 적분하면 ln
exp
⋅
∴
2 ′
[ ]풀이 원식
의 양변을 분리하면
이고양변을적분하면
을 정리하면
∴
2
[ ]풀이
를 변수분리하면
양변을 적분하면
ln
ln
ln
ln
∴
2′
,
남은
의 양과 초기량과의 비는
와 같이 두고,
에서 구할 수 있으므로
년 후의 비는3000
⋅
≈
이다.
∴약 69%
※다음 완전 미분방정식의 해를 구하라.
2< >문제수정됨
sin
cos
[ ]풀이
sin
cos
sin
cos
cos
cos ∴전미분
sin
sin
sin
cos
′
cos ∴ ′
적분하면
이되므로
sin
이다
sin
상수
이므로
sin
와같이쓸수있다
∴
sin
2
[ ]풀이
∴전미분
′
′
∴
이므로
∴
[ ]풀이
∴ 전미분
′
′ ∴
∴
,
[ ]풀이
∴ 전미분
′
′
∴
∴
에 초기조건 을 대입하면
그러므로이다
∴
,
[ ]풀이
∴ 전미분
′
′
∴
∴
초기조건
를 대입하면
∴
2
,
[ ]풀이
sin
cos
#######
sin
cos
#######
#######
sin
cos
#######
∴
sin
2′
,
[ ]풀이
′
ln
ln
ln
⋅
#######
∴
2′tancos,
[ ]풀이
tan cos
tanlncos
lncos
lncos
⋅ cos
#######
cos
#######
cos
∴ cos
※다음 베르누이 방정식의 해를 구하라.
2′
[ ]풀이
미분하면,′′
변수 에 대해서 정리하면, ′
#######
따라서
∴
2′
[ ]풀이
미분하면, ′
′
변수 에 대해서 정리하면, ′
ln
ln
ln
#######
∴
2′
을 풀어서
의 값을 구하라.
[ ]풀이 양변을
으로 나누면,
′
라고 두고 미분하면
′
′이 된다
그러므로 윗식은
′
′
에서
이므로
#######
#######
에서
∴
응용 저항과 콘덴서로 이루어진 전기회로의 식은
와 같이 나타난다.
(a)
이고,
를 사용하는 경우의 해를 구하라. <문제수정됨>
(b)축전기가 초기 충전값의 를 잃게 되기까지의 시간을 구하라99%.
응용 저항과 콘덴서로 이루어진 전기회로의 식은
와 같이 나타난다.여기서,는
전원을 나타내는 함수다.
(a)전원이 일정한 값을 갖는 직류전원
인 경우,전기회로에 흐르는 전류를 구하라.
(b) 시간에따라전원값이변하는교류전원
sin인경우,전기회로에흐르는전류
를
구하라.
[ ] (a)풀이 ′
변수분리하면
적분하면
ln
∴
(b) ′
sin
cos
cos
cos
cos
이때
cos
cos
sin
cossin
∴
cos
sin
[Chapter 03 ] 연습문제 및 해답
※다음 계 제차 미분방정식의 일반해를 구하라 2.
3 ′′
′
[ ]풀이 특성방정식은
이고
이므로 기저는
가된다
∴
3′′
′
[ ]풀이 특성방정식은
이고
이므로 기저는
가된다
∴
3 ′′
[ ]풀이 특성방정식은
이고
인중근을가지므로 기저는
이다
∴
3′′
′
[ ]풀이 특성방정식은
이므로
근의 공식을이용하면 ±
±
근이복소수형태이므로
일반해
cos
sin
를 가진다
을 대입하면
∴
cos
sin
3 ′′
′
[ ]풀이 특성방정식은
이고
인중근을가지므로 기저는
가 된다
∴